Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni
Yuklangan vaqt
2024-03-25
Yuklab olishlar soni
2
Sahifalar soni
7
Faytl hajmi
261,5 KB
Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni.
Reja
1. Ortogonal va ortonormal tizimlar
2. Ortogonal proektsiyalar
3. Unitar fazolar
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ixtiyoriy ikkita nol’dan farqli x va y vektorlar
orasvdash burchak ta`rifini kiritishga imkon beradi:
( , )
cos|
| |
|
x y
arc
x
y
chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
( , )
1.
|
| |
|
x y
x
y
Yunaltirilgan kesmalar fazosida burchakning bu ta`rifi burchakning oddiy
ta`rifiga aylanadi.
T a ` r i f. Agar x va y vektorlar orasidagi burchak 2
ga teng bo`lsa, bu
vektorlar ortogonal deyiladi.
Agar x va y vektorlar ortogonal bo`lsa, u xolda ( , )
x y 0
. Aksincha, nol’dan
farqli x va y vektorlar uchun ( , )
x y 0
bo`lsa, ular ortogonal.
Demak, yuqoridagi ta`rifni quyidagicha aytsa xam bo`ladi. Agar nol’dan
farqli x va y vektorlar uchun ( , )
x y 0
bo`lsa, ular ortogonal deyiladi.
Evklid fazosidagi vektorlar tizimiga kiruvchi xar qanday ikkita vektor
ortogonal bo`lsa, bu tizim ortogonal deyiladi. Agar ortogonal tizimga kiruvchi xar
bir vektorning uzunligi birga teng bo`lsa, bu tizim ortonormal deyiladi. Xar
qanday ortogonal tizimni, undagi xar bir vektorni uzunligiga bo`lab, ortonormal
tizimga aylantirish mumkin.
Misol ko`ramiz. [ , ]
C a b evklid fazosida 2
1
n vektordan iborat ushbu
1,cos , sin , cos2 , sin2 ,...,cos
, sin
t
t
t
t
nt
nt
vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun
2
0
cos
sin
0,
kt
mt dt
2
0
0,
cos
cos
,
0
2 ,
0,
агар k
m
kt
mtdt
агар k
m
агар k
m
2
0
0,
sin
sin
,
.
агар k
m
kt
tdt
агар k
m
Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu
1
cos
sin
cos
sin
,
,
,...,
,
2
t
t
nt
nt
ortonormal tizimni olamiz.
Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud.
Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning
1
{ ,..., }
n
e
e
kanonik
bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki i
k
bo`lganda ( ,
)
0
i
e ek
.
Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga
kelamiz.
V evklvd fazosida
1
{ ,..., }
n
e
e
ortonormal bazis va
1,...,
n
sonlar x
vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda
1
1
( ,
)
(
)
.
n
n
k
i i k
i
i k
k
i
i
x e
e e
e e
Demak
1
( ,
) .
n
k
k
k
x
x e e
Agar
1,...,
n
sonlar u vektorning o`sha bazisdagi ko-ordinatalari bo`lsa, u
xolda
,
1
1
( , )
( ,
)
.
n
n
i
k
i
k
k
k
i k
k
x y
e e
Xususan, y
x
uchun
2
1
( , )
n
k
k
x x
va
2
1
|
|
.
n
k
k
x
V fazo sifatida tekislikdagi yo`naltirilgan kesmalar fazosini olsak, oxirgi
tenglik Pifagorning klassik teoremasini beradi. SHuning uchun oxirgi tasdiqqa
Pifagor teoremasining juda keng umumlashmasi deb qarash mumkin.
ORTOGONAL PROEKTSIYALAR
V evklid fazosida V1 qismfazo va x
V
vektor berilgan bo`lsin. Agar x
vektor
1
V qismfazoning xar bir vektoriga ortogonal bo`lsa, x vektor
1
V
qismfazoga ortogonal deyiladi.
Ta`rif.
1
V qismfazoga tegshili bo`lmagan x
V
vektor uchun shunday
1
1
x
V
vektor topilsaki,
1
x
x
vektor
1
V qismfazoga ortogonal bo`lsa, bunday x1
vektor x vektorning
1
V qismfazoga ortogonal proektsiyasi (soyasi) deb ataladi.
Xususan, agar x vektor
1
V qismfazoga ortogonal bo`lsa, u xolda nol’ vektor
x vektorning
1
V ga ortogonal proektsiyasi bo`ladi.
1-t e o r e m a. Agar
1
1
x
V
vektor x
V
vektortng ortogonal proektsiyasi
bo`lsa, u xolda x1 vektorga teng bo`lmagan xar qanday
1
z
V
vektor uchun
1
|
| |
|
x
z
x
x
tengsizlik o`rinli (ya`ni evklid metrikasida x1 vektor
1
V fazoda x
vektorga eng yaqin vektor).
I s b o t. Xaqiqatan,
1
z
x
vektor
1
V ning nol’dan farqli vektori va
1
1
(
,
)
0.
x
x z
x
SHuning uchun
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
|
|
(
,
)
((
)
(
),(
)
(
))
|
|
|
|
|
|
x
z
x
z x
z
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
Bundan
1
|
| |
|.
x
z
x
x
2-t e o r e m a. Agar
1
V - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u
xolda
1
V ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona
1
1
x
V
ortogonal
proektsiyaga ega.
Isbot.
1
V ning biror
1
{ ,..., }
k
e
e
ortonormal bazisini olamiz. U xolda
1
1
1
( , )
k
i
i
i
x
x e e
V
vektor x vektorning V1 ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir
1,2,...,
m
k
uchun
1
(
)
( , )(
)
( ,
).
k
q m
i
i m
m
i
x e
x e
e e
x e
Demak,
1
(
,
)
0
m
x
x e
. SHuning uchun xar qanday
1
1
k
m m
m
y
e
V
vektor uchun
1
1
1
(
, )
(
,
)
0.
k
m
m
m
x
x y
x
x e
Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud
bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, [ , ]
C a b fazoda evklid metrikasida et
uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo
funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi
kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu
0
1
(
cos
sin
)
n
k
k
k
kt
kt
ko`rinishdagi xar qanday funktsiya n darajali trigonometrik ko`pxad deb ataladi.
Darajasi
n
barcha trigonometrik ko`pxadlar [ , ]
C a b fazoning 2
1
n o`lchamli T
qismfazosini xosil qiladi. YUqorida ko`rilgan ushbu
1
cos
sin
cos
sin
,
,
,...,
,
2
t
t
nt
nt
tizim bu qismfazoning ortonormal bazisini xosil qiladi.
Agar
( )
f t funktsiya [0,2 ]
segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u
xolda 2-teoremaning isbotida ko`rsatilganiga ko`ra, uning
n
T qismfazoga
ortogonal proektsiyasi (ya`ni evklid metrikasida bu funktsiyaga eng yaqin
bo`lgan trigonometrik ko`pxad)
0
1
(
cos
sin
)
2
n
k
k
k
kt
kt
ko`pxaddir, bu erda
2
2
0
0
1
1
( )cos
,
( )sin
k
k
f t
ktdt
f t
ktdt
Bu tengliklar bilan aniqlangan
k
va
k
koeffitsientlar
( )
f t funktsiyaning
Fur’e koeffitsientlari deyiladi.
UNITAR FAZOLAR
Unitar fazo - evklid fazosining kompleks ko`rinishi.
Ta`rif. Agar V kompleks chiziqli fazoda ikki vektor argumentli (x,y)
kompleks qiymatli funktsiya uchun ushbu:
1) xar qanday ,x y
V
uchun ( , )
( , );
x y
y x
2) xar qanday
1
, 2
,
x x y
V
uchun
1
2
1
2
(
, )
( , )
(
, );
x
x y
x y
x y
3) xar qanday ,
,
x y
V
C
uchun (
, )
( , );
x y
x y
4) xar qanday nol`dan farqli x
V
vektor uchun ( , )
x x 0
shartlar bajarilsa, u
V
kompleks
chiziqli
fazodagi
skalyar
ko`paytma deb ataladi. Skalyar ko`paytma aniqlangan V kompleks chiziqli fazo
esa unitar deb ataladi.
Ravshanki, unitar fazoning xar qanday qismfazosi xam unitar fazo.
Ikkinchi va uchinchi shartlar skalyar ko`paytma birinchi argumenti bo`yicha
chiziqli ekanligini ko`rsatadi. Bundan va birinchi shartdan ikkinchi argumenti
bo`yicha 2-turchiziqli ekanligi, ya`ni
1
2
1
2
( ,
)
( ,
)
( ,
),
( ,
)
( , )
x y
y
x y
x y
x
y
x y
shartlarning xar qanday
1
2
, ,
,
,
x y y y
V
C
uchun bajarilishi kelib chiqadi
(isbotlang). Bularga ko`ra, unitar fazodagi skalyar ko`paytma ermit formasi bo`lib,
unga mos kvadratik forma musbat.
Misol ko`ramiz. Agar
n
C fazoda
( 1
,...,
n)
x
va
( 1
,...,
n )
y
skalyar
ko`paytmani
1
( , )
n
k
k
k
x y
n
C
tenglik bilan kiritsak,
n
C unitar fazoga aylanadi (tekshiring).
Evklid fazosidagi kabi unitar fazoda xam, Gram determinanti tushunchasi
kiritiladi va vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lsa, ularning Gram determinanti
musbat ekanligi va aks xolda - nol’ga teng ekanligi isbotlanadi. Bu teoremani
ikkita vektordan iborat tizimga tatbiq qilib, unitar fazo uchun Koshi-
Bunyakovskiy tengsizligini olamiz. Unitar fazoda bu tengsizlikning ko`rinishi
quyidagicha:
| ( , ) |2
( , ) ( , ).
x y
x x
y y
Unitar fazoda vektorning uzunligi xuddi evklid fazodagidek ta`riflanadi:
uchun
|
|
( , ).
x
x x
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan V unitar fazoning xar qanday x,y
vektorlari uchun |
| |
|
|
|
x
y
x
y
tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi.
Bu evklid fazodagi kabi unitar fazoda ushbu
( , ) |
|
x y
x
y
tenglik orqali
metrika kiritishga imkon beradi.
Unitar fazoda ikkita vevstor orasidagi burchak tushunchasi kiritilmaydi,
ammo ortogonallik tushunchasi kiritiladi: agar unitar fazodagi nol’dan farqli
ikkita vektorning skalyar ko`paytmasi nol’ga teng bo`lsa, ular ortogonal deb
ataladi. Ortogonal va ortonormal tizim tushunchalari xuddi evklid fazosidagidek
kiritiladi.
Unitar fazoda ortonormal bazislarning mavjudligi ermit formalar xaqidagi
teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Agar V unitar fazoda
1
{ ,..., }
n
e
e
ortonormal
tizim berilgan va
1
1
,
n
n
k
k
k
k
k
k
x
e
y
e
Bu fazodagi vektorlar bo`lsa, evklid fazodagi kabi, ushbu
1
2
2
1
( ,
), (
1, ), ( , )
,
|
|
|
|
n
k
k
k
k
k
n
k
k
x e
k
n
x y
x
tengliklarni olamiz.
Bu paragrafdagi keltirilgan teoremalarning isbotlarini mustaqil bajarish
tavsiya qilinadi.