Ilmiybaza.uz PARABO‘LA VA UNING KANONIK TENGLAMASI. ELLIPS , PARABO‘LA VA GIPERBO‘LANING URUNMALARI Ellips Tarif: Ixtiyoriy nuqtasidan qo’zg’almas 2 ta nuqtasigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’lga ikkinchi tartibli chiziqqa ellips deyiladi. Tarifdagi 2 ta qo’zg’almas o’q ellipsning fokusari deyiladi. Ellips tenglamasini soddaroq xolarda yozish uchun, fokuslar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqni Ox o’qi deb olamiz, fokuslar o’rtasini koordinata boshi deb olamiz. Fokusning koordinatalari F1(c;0), F2(-c;0) bo’ladi. Tarifdagio o’zgarmas son 2a ga teng bo’lsin, demak M(x,y) ellipsdagi biron nuqtasi bo’lsa (MF1)+(MF2)=2a tenglik o’rinli bo’ladi. Shunga ko’ra √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a (√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2 = (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 𝑥2 −2xc + 𝑐2 − 𝑦2=4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 2xc + 𝑐2-𝑦2 𝑎2 + xc = a√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 𝑎4 + 2𝑎2xc + 𝑥2 𝑐2 = 𝑎2𝑥2 +2𝑎2 xc + 𝑎2 𝑦2 + 𝑎2 𝑐2 𝑎2𝑥2 - 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 =𝑎4 - 𝑎2𝑐2 (𝑎2 - 𝑐2) 𝑥2 + 𝑎2 𝑦2=𝑎2 (𝑎2 - 𝑐2) Ilmiybaza.uz 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑎2− 𝑐2 =1 𝑎2 − 𝑐2= 𝑏2 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Ellipsning kanonik tenglamasi Ellips (± a; 0) va (0; ±b) nuqtalarda koordinata o’qlarini kesib o’tadi. Tarif: e= c a son ellips ekssentrisiteti deyiladi. a va b sonlar ellips yarimo’qlari uzunliklari bazida kata va kichik yarimo’qlari deyiladi. Tarif: Ellipsni ixtiyoriy nuqtasidan fokuslarga o’tkazilgan kesmalarfakal radiuslar deyiladi. r1=√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 =√𝑥2 − 2xc + 𝑎2+ 𝑏 2 𝑐2 − 𝑥2 𝑏 2 𝑎2 = √𝑎2 − 2xc + 𝑐2𝑥 2 𝑎2 = √(𝑎 − c a 𝑥)2 =a – ex. r2=√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 =√𝑥2 + 2xc + 𝑎2+ 𝑏 2 𝑐2 − 𝑥2 𝑏 2 𝑎2 = √𝑎2 + 2xc + 𝑐2𝑥 2 𝑎2 = √(𝑎 + c a 𝑥)2 =a + ex. r1 = a− ex r2 = a + ex Ellipsning fakal radiuslari tenglamalari. Tarif: Ellips Oy o’qidan a e masofada uzoqlikda joylashgan parallel to’g’ri chiziqellips direktirissasi deyiladi. Direktrissa tenglamasi 𝑥 = ± c a ga teng. Misol (1): 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 ellips fokuslarining koordinatasi topilsin. 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ellipsning kanonik tenglamasi 𝑥2 52 + 𝑦2 42 = 1 demak a=5 b=4 ga teng bo’ladi 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √52 − 42 = √25 − 16 = √9 = 3 Ellipsning fokuslari F1 (3, 0) va F2 (-3, 0). Misol (2): Ellipsning direktrissalari x=±8 tog’ri chiziqlar, unung kichik o’qi 8 ga teng ekanligi malum. Ellipsning tenglamasini tuzing. x=±8 b=4 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2−𝑏2 𝑎 Ilmiybaza.uz 𝑥 = 𝑎 𝑒 = 𝑎2 √𝑎2 − 𝑏2 = 8 𝑎2 = 8√𝑎2 − 16 𝑎4 − 2 ∗ 32𝑎2 + 322 = 0 (𝑎2 − 32)2 = 0 𝑎2 − 32 = 0 𝑎2 = 32 𝑥2 32 + 𝑦2 16 = 1 Parabola Tarif: Berilgan to’g’ri chiziq va berilgsn nuqtadan birxil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to’plamiga parabola deyiladi Berilgan F nuqta parabo’la fokusi , to’g’ri chiziq esa parabo’la direktrissasi deyiladi. Tarif: Fokusdan direktrissaga tusirilgan perpendicular kesmaning o’rtasi parabo’laning uchi deyiladi. Parabo’lani kanonik tenglamasini chiqarish uchun parabo’la uchini koordinata boshin deymiz. Direktrissaga parallel chiziqni koordinata chiziqlaridan birini olamiz. √𝑥2 − (𝑦 − 𝑝 2)2 = y + 𝑝 2 𝑥2 + 𝑦2- py + 𝑝2 2 = 𝑦2 + py + 𝑝2 2 𝑥2 = 2py Ilmiybaza.uz shundan malumki bu parabola Oy ga nisbatan simmetrik. Shu uchun xam Oy o’qiga simmetrik bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Bu Ox o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi. Parabolaning fokusi va ixtiyoriy nuqtasini tutashtiruvchi kesma uning fakal radiusi detiladi. r = √𝑥2 + (𝑦 − 𝑝 2)2 = √2𝑝𝑦 + 𝑦2 − 𝑝𝑦 + 𝑝 4 2 = √𝑦2 + 𝑝𝑦 + 𝑝 4 2 =√(𝑦 + 𝑝 2)2 = y + 𝑝 2 Parabolaning fokal radiusi. Parabolaning ekssentrisiyeti e = 1 ga teng. Isbot: e = 𝑐 𝑎 c = 𝑝 2 a = 𝑝 2 e = 𝑝 2 𝑝 2 = 1 demak e = 1 Giperbola Ixtiyoriy nuqtasidan berilgan ikkita nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining absalyut qiymati o’zgarmas son 2a ga teng bo’lgan ikkinchi tartibli chiziq giperbola deyiladi. Giperbolaning kanonik tenglamasini hosil qilish uchun berilgan ikkita nuqta yani fokuslari orqali Ox o’qini o’tkazamiz. Fokuslarni o’rtasi koordinata boshi bo’lsin. U xolda F1(c, 0) va F2(-c, 0) bo’ladi. y M(x,y) x 𝑦2 = 2px r = y + 𝑝 2 Ilmiybaza.uz F2(-c, 0) F1(c, 0) |MF2| - |MF1| = 2a bo’ladi √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 - √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 √(𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2)2 = (2a + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2 𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4a√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 4𝑥𝑐 − 4𝑎2 = 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 𝑥𝑐 − 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 (𝑥𝑐 − 𝑎2)2 = (𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2 𝑥2𝑐2 − 2𝑥𝑐𝑎2 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) 𝑥2𝑐2 − 2𝑥𝑐𝑎2 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 − 2𝑥𝑐𝑎2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 𝑥2𝑐2 − 𝑎2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑐2 − 𝑎4 𝑥2(𝑐2 − 𝑎2) − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2) 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2 𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑐2 − 𝑎2 = 1 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 𝐵𝑢 𝑔𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑘 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝑖. Tenglamadan malumki bu giperbola Ox va Oy o’qlariga simmetrik joylashgan. Giperbola y = 0 da (a, 0 ) va (-a, 0) nuqtalarda Ox o’qini kesib o’tqdi. Bu giperbolaning xaqiqiy uchlari deyiladi. Xaqiqiy uchlari orasidagi masofa ( ya’ni 2a ) xaqiqiy o’q uzunligi bo’ladi. x = 0 da 𝑦2 = −𝑏2 ga teng bo’ladi. ( 0, b) va ( 0,-b ) nuqtalar giperbolaning mavxum uchlari deyiladui. U lar orasidagi masofa yani 2b mavhum o’q uzunligi bo’ladi. Ilmiybaza.uz y ga absalyot jixatdan yaqinlashib borursak giperboladagi nuqta Oy o’qidan uzoqlashib boradi. 𝑦2 = 𝑏2𝑥2 𝑎2 − 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 r1,2 =√(𝑥 ± 𝑐)2 + 𝑦2 = √𝑥2 ± 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = √𝑥2 ± 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑏2𝑥2 𝑎2 − 𝑏2 == √𝑎2+𝑏2 𝑎2 𝑥2 ± 2𝑥𝑐 + 𝑐2 − 𝑏2 = √𝑐2 𝑎2 𝑥2 ± 2𝑥𝑐 + 𝑎2 = √( 𝑐 𝑎 𝑥 ± 𝑎)2 = 𝑐 𝑎 𝑥 ± 𝑎 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑘 𝑔𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑎𝑘𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠𝑙𝑎𝑟𝑖 r1 = 𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑣𝑎 𝑟2 = 𝑐 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔. Ellips, parabola va giperbolaning urunmalari. Tarif: Bizga 𝛾 chiziq berilgan bo’lsin, 𝛾 chiziqdan M nuqta va unga yaqin N nuqta olamiz. NM kesuvchi olamiz N nuqta M nuqtaga yaqinlashib borsa kesuvchi xam o’zgarib boradi. N nuqta M nuqtaga intilganda kesuvchining limit xolati 𝛾 chiziqni M nuqtaga o’tkazilgan urunmasi bo’ladi. Kesuvchining yo’naltiruvchisi 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {Δ𝑥 ; 𝑓(𝑥0 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥0)} 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Δ𝑥 bu xam kesuvchining yo’naltiruvchisi bo’ladi. 𝑁 → 𝑀 ∆𝑥 → 0 Agar ∆𝑥 → 0 𝑑𝑎 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Δ𝑥 urunmani yo’naltiruvchisi bo’ladi. Ilmiybaza.uz 𝑎 = lim ∆𝑥→0 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑥 = {1 , lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) ∆𝑥 } = {1, 𝑓′(𝑥0)} Demak 𝑦 = 𝑓(𝑥) ning (𝑥0, 𝑦0) nuqtasiga o’tkazilga urunmasi 𝑥 − 𝑥0 1 = 𝑦 − 𝑦0 𝑓′(𝑥0) (1) 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) (2) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 (3) 𝑥3 + 𝑦2 + 𝑦3 − 2 = 0 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑑𝐹 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑑𝐹 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 𝐹′𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −𝐹′𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝐹′𝑥 𝐹′𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦′𝑥 (4) (4) ni (1) ga qo’ysak 𝑥 − 𝑥0 1 = 𝑦 − 𝑦0 − 𝐹′𝑥0 𝐹′𝑦0 𝐹′ 𝑥0(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹′ 𝑦0(𝑦 − 𝑦0) = 0 (5) (5) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎 (3) 𝑘𝑜′𝑟𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑛𝑖 (𝑥0, 𝑦0) nuqtasiga o’tkazilgan urunma tenglamasi. Ellipsning (𝑥0, 𝑦0) nuqtasidan o’tuvchi urunma tenglamasi: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑥0 2 𝑎2 + 𝑦0 2 𝑏2 = 1 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0) 𝑎2 + 2𝑦0(𝑦 − 𝑦0) 𝑏2 = 0 𝑥0𝑥 𝑎2 − 𝑥0 2 𝑎2 + 𝑦0𝑦 𝑏2 − 𝑦0 2 𝑏2 = 0 𝑥0𝑥 𝑎2 + 𝑦0𝑦 𝑏2 = 𝑥0 2 𝑎2 + 𝑦0 2 𝑏2 = 1 𝑥0𝑥 𝑎2 + 𝑦0𝑦 𝑏2 = 1 𝐸𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑢𝑟𝑢𝑛𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝑖. Ilmiybaza.uz Parabolaning (𝑥0, 𝑦0) nuqtasidan o’tgan urunma tenglamasi: 𝑥2 = 2𝑝𝑦 𝑥2 − 2𝑝𝑦 = 0 𝐹′𝑥0 = 2𝑥0 𝐹′𝑦0 = −2𝑝 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0) − 2𝑝(𝑦 − 𝑦0) = 0 𝑥𝑥0 − 𝑥0 2 − 𝑝𝑦 + 𝑝𝑦0 = 0 𝑥𝑥0 − 𝑝𝑦0 − 𝑝𝑦 = 0 𝑦 = 𝑥0𝑥 𝑝 − 𝑦0 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑢𝑟𝑢𝑛𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝑖. Giperbolaning (𝑥0, 𝑦0) nuqtadan o’tuvchi urunma tenglamasi: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑥0 2 𝑎2 − 𝑦0 2 𝑏2 = 1 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0) 𝑎2 − 2𝑦0(𝑦 − 𝑦0) 𝑏2 = 0 𝑥0𝑥 𝑎2 − 𝑥0 2 𝑎2 − 𝑦0𝑦 𝑏2 + 𝑦0 2 𝑏2 = 0 𝑥0𝑥 𝑎2 − 𝑦0𝑦 𝑏2 = 𝑥0 2 𝑎2 − 𝑦0 2 𝑏2 = 1 𝑥0𝑥 𝑎2 − 𝑦0𝑦 𝑏2 = 1 𝐺𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑢𝑟𝑢𝑛𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝑖.