Ilmiybaza.uz
MAVZU: PARABOLOID
Ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi paraboloidlar.Bu sirtlar ham ikki
turlidir.birinchisi elliptik paraboloid,ikkinchisi giperbolik paraboloid
PARABOLOID – ikkinchi tartibli yopiq bo`lmagan sirtlar.Bir parobalani
ikkinchisi
bo`yicha
ilgarilanma
harakatlantirib,Paraboloidlar
hosil
qilish
mumkin.Buning uchun parabolalar yotgan tekisliklar o`zaro tik,o`qlari parallel,
birinchi parobalani uchi ikkinchi parobala bo`ylab sirpanishi kerak.Bunda
parobalalar bir tomonga yo`nalgan bo`lsa, elliptik paraboloid, turli tomonga
yo`nalgan bo`lsa, giperbolik paraboloid hosil bo`ladi. Elliptik paraboloid tekislik
bilan kesilsa, kesimda ellips va parobalalar;giperbolik paraboloid kesilsa
parobala,Giperbola va o`zaro kesishuvchi to`g`ri chiziqlar yuzaga keladi.Giperbolik
paraboloidni to`g`ri chiziqni harakatlantirib ham hosil qilish mumkin.
Endi ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi Paraboloidlar bilan tanishamiz bu
sirtlar xam ikki turdan iborat bo`lib
Elliptik paraboloid.
1.
2
2
2
x
y
z
p
q
(P>0 ,q>0) (1)
Tenglamani qanoatlanturuvchi fazodagi barcha nuqtalar to`plami elliptik paraboloid
deb ataladi.
*Elliptik paraboloid xam ikkinchi tartibli sirt,undan tashqari bu sirt koordinatalar
boshidan o`tadi.
Koordinata o`qlari bilan kesishgan nuqtalarini topaylik:
a)0x o`qi bilan kisishgan nuqtasini topaylik
0x:
2
2
2
x
y
z
p
q
Ilmiybaza.uz
Y=0
2
0
x
p
,
0
x 0,0,0
(2)
Z=0
b) 0 :
y
2
2
2
0
0
x
y
z
p
q
x
z
2
0,
0
0,0,0 ;
y
y
q
(3)
2
2
:
2
0
0
x
y
c oz
z
p
q
x
y
2
0,
0
0,0,0 ;
z
z
(4)
Demak, elliptik paraboloid koordinata o`qlari bilan faqat koordinatalar boshidagina
kesishadi
Koordinata tekisliklari va ularga parallel tekisliklar bilan
kesimini tekshiraylik :
a)x0y bilan kesishish chizig`i:
2
2
2
0
x
y
z
p
q
z
2
2
0
(0,0,0)
x
y
p
q
(5)
b)X0Z bilan kesishish chizig`i:
2
2
2
0
x
y
z
p
q
y
2
2
2
2
x
z
x
pz
p
(6)
Ilmiybaza.uz
Bu tenglama X0Z tekislikda simmetriya o`qi 0Z dan iborat parobaladir.Parabolaning
oz o`qi atrofida aylanishidan xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi. P teng mas q ga
bo`lganda umumiy xolda elliptik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi. Uning oz
o`qqa perpendukulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar emas balki ellipslar
bo`ladi.
c)Y0Z bilan kesishish chizig`i:
2
2
2
0
x
y
z
p
q
x
2
2
2
2
y
z
y
pz
p
(7)
Bu xam simmetriya o`qi 0Z dan iborat Y0Z tekislikdagi parobaladir;
d) z=h tekislik bilan kesishish chizig`i :
2
2
2
x
y
z
p
q
z
h
2
2
2
x
y
h
p
q
(8)
0
0;
h
z
a)h<0 b0`lsa, p va q (1) shartga ko`ra musbat shuning uchun
(8) tenglik o`rinli bo`lmaydi: h>0 da (8)tenglik
2
2
1
*2
*2
x
y
p
h
q
h
bo`lib bu tenglama z=h tekislikdagi ellipsni bildiradi
Bundan tashqari x,y o`zgaruvchilar (1) tenglamada juft darajada qatnashganligi
uchun elliptik paraboloid X0Z, Y0Z tekisliklarga nisbatan simmetrik joylashadi
Bu tekisliklarning kesishmasidan xosil bo`lgan 0Z to`g`ri chiziq elliptik
paraboloidning o`qi deb ataladi.
P va q teng bo`lganda ya`ni p=q da tenglama
2
2
2
x
y
pz
Ilmiybaza.uz
ko`rinishda bo`lib aylanma paraboloid bo`ladi.O`qlari 0X yoki 0Y dan iborat
elliptik paraboloidning tenglamalari mos ravishda ushbu tenglamalar bilan
ifodalanadi.
2
2
2
y
z
x
p
q
yoki
2
2
2
x
z
y
p
q
*Agar p=q bo`lsa u xolda elliptik paraboloid
2
2
0
x
pz
y
parabolaning oz o`qi atrofida
aylanishdan xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi.
*Agar p
q
bo`lsa, u holda elliptik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi:Uning 0z
o`qqa perpendikulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar emas balki ellipslar
bo`ladi.
Ilmiybaza.uz
Giperbolik paraboloid.
2
2
2
x
y
z
p
q
(p>0, q>0) tenglamani qanoatlanturuvch fazo nuqtalari
to`plami giperbolik paraboloid deb ataladi, tenglamasi bo`yicha giperbolik
paraboloidning shaklini va ba`zi geometrik xossalarini aniqlash mumkin.
Ilmiybaza.uz
*giperbolik paraboloid ikkinchi tartibli sirt bo`lib, kordinatalar boshidan o`tadi.
*giperbolik paraboloid koordinata o`qlari bilan faqat koordinatalar boshida
kesishadi.
*giperbolik paraboloid koordinata o`qlari bilan faqat koordinatalar boshida
kesishadi.
* giperbolik paraboloid oxz va oyz tekisliklarga nisbatan simmetrik , 0xy tekislikka
nisbatan esa simmetrik emas chunki 2 ta to`g`ri chiziq bo`lib qoladi.
Demak bu sirt oz o`qqa nisbatan simmetrik ox, oy o`qlarga va koordinatalar
boshiga nisbatan esa simmetrik emas.
a)X0Y tekislik bilan kesilganda kesimda ikkita kesishuvchi to`g`ri chiziq xosil qilinadi.
2
2
2
0
x
y
z
p
q
z
2
2
0
x q
y p
x q
y
pvax q
y
p
Demak:bu chiziqlar
x q
y
p
va
x q
y
p
dan iborat ekan.
b)X0Z tekislik bilan kesilganda kesimda simmetriya o`qi 0Z dan iborat
2
2
x
pz
parobala xosil bo`ladi.Bu parobalani shoxlari yuqoriga qaragan va 0Z o`qiga
simmetrik bo`lgan parobaladir.
Ilmiybaza.uz
2
2
2
0
x
y
z
p
q
y
2
2
x
zp
c)Y0Z tekislik bilan kesilganda kesimda simmetriya o`qi 0z dan iborat
2
2
y
qz
parobala xosil bo`ladi.Bu parobalani shoxlari pastga qaragan va oZ o`qiga
simmetrik bo`lgan parobaladir.
2
2
2
0
x
y
z
p
q
x
2
2
y
zq
*z=h tekislik bilan kesilganda kesimda:
a)h>0 shartda
2
2
1
2
2
x
y
ph
qh
giperbola.
b)h<0 shartda
2
2
1
2
2
x
y
ph
qh
giperbola hosil qilinadi.
Agar h>0 bo`lsa giperbolaning haqiqiy o`qi, ox o`qqa, h<0 bo`lganda esa oy o`qqa
parallel bo`ladi.Geperbolik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi chunki u har
qanday tekislik bilan giperbola yoki parabola bo`yicha kesishadi va uning kesimida
ellips yoki aylana hosil bo`lishi mumkin emas.
Misollar
1)
2
2
8
x
y
z
tenglama bilan berilgan sirtning formasini aniqlang.
Yechish:
2
2
2
4
4
x
y
z
shu holatga olib kelsak u holda bu tenglama bizga giperbolik
paraboloid tenglamasini eslatadi, demak bu sirt giperbolik paraboloid ekan.
Javob: giperbolik paraboloid
2)oyz tekislikdagi
2
2
2
x
y
pz
parabolaning 0z o`qi atrofida aylanishidan xosil
bo`lgan sirt tenglamasini yozing.
Yechish:
Ilmiybaza.uz
Demak,0yz tekislikda aylansa x=0 bo`ladi,
2
2
2
x
y
z
p
q
tenglamadan esa p=q
bo`lsa u holda
2
2
y
pz
parabolaning oz o`qi atrofida aylanishdan xosil bo`lgan
aylanma sirt bo`ladi.
Demak,p=q gi dan
2
2
2
x
y
pz
kelib chiqadi.
Javob:
2
2
2
x
y
pz
