PARABOLOID

Yuklangan vaqt

2024-04-28

Yuklab olishlar soni

3

Sahifalar soni

8

Faytl hajmi

345,7 KB


Ilmiybaza.uz 
 
MAVZU: PARABOLOID 
 
 
 
Ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi paraboloidlar.Bu sirtlar ham ikki 
turlidir.birinchisi elliptik paraboloid,ikkinchisi giperbolik paraboloid  
PARABOLOID – ikkinchi  tartibli yopiq bo`lmagan sirtlar.Bir parobalani 
ikkinchisi 
bo`yicha 
ilgarilanma 
harakatlantirib,Paraboloidlar 
hosil 
qilish 
mumkin.Buning uchun parabolalar yotgan tekisliklar o`zaro tik,o`qlari parallel, 
birinchi parobalani uchi ikkinchi parobala bo`ylab sirpanishi kerak.Bunda 
parobalalar bir tomonga yo`nalgan bo`lsa, elliptik  paraboloid, turli tomonga 
yo`nalgan bo`lsa, giperbolik paraboloid hosil bo`ladi. Elliptik paraboloid tekislik 
bilan kesilsa, kesimda ellips va parobalalar;giperbolik paraboloid kesilsa 
parobala,Giperbola va o`zaro kesishuvchi to`g`ri chiziqlar yuzaga keladi.Giperbolik 
paraboloidni to`g`ri chiziqni harakatlantirib ham hosil qilish mumkin. 
Endi ikkinchi tartibli sirtlarning  yana bir sinfi Paraboloidlar bilan tanishamiz bu 
sirtlar xam ikki turdan iborat bo`lib  
                Elliptik  paraboloid. 
1. 
2
2
2
x
y
z
p
 q

   (P>0 ,q>0)      (1) 
Tenglamani qanoatlanturuvchi fazodagi barcha nuqtalar to`plami elliptik paraboloid 
deb ataladi. 
*Elliptik paraboloid xam ikkinchi tartibli sirt,undan tashqari bu sirt koordinatalar  
boshidan o`tadi. 
 
  Koordinata o`qlari bilan kesishgan nuqtalarini topaylik: 
a)0x o`qi bilan kisishgan nuqtasini topaylik 
0x:  
2
2
2
x
y
z
p
q



 
Ilmiybaza.uz MAVZU: PARABOLOID Ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi paraboloidlar.Bu sirtlar ham ikki turlidir.birinchisi elliptik paraboloid,ikkinchisi giperbolik paraboloid PARABOLOID – ikkinchi tartibli yopiq bo`lmagan sirtlar.Bir parobalani ikkinchisi bo`yicha ilgarilanma harakatlantirib,Paraboloidlar hosil qilish mumkin.Buning uchun parabolalar yotgan tekisliklar o`zaro tik,o`qlari parallel, birinchi parobalani uchi ikkinchi parobala bo`ylab sirpanishi kerak.Bunda parobalalar bir tomonga yo`nalgan bo`lsa, elliptik paraboloid, turli tomonga yo`nalgan bo`lsa, giperbolik paraboloid hosil bo`ladi. Elliptik paraboloid tekislik bilan kesilsa, kesimda ellips va parobalalar;giperbolik paraboloid kesilsa parobala,Giperbola va o`zaro kesishuvchi to`g`ri chiziqlar yuzaga keladi.Giperbolik paraboloidni to`g`ri chiziqni harakatlantirib ham hosil qilish mumkin. Endi ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi Paraboloidlar bilan tanishamiz bu sirtlar xam ikki turdan iborat bo`lib Elliptik paraboloid. 1. 2 2 2 x y z p  q  (P>0 ,q>0) (1) Tenglamani qanoatlanturuvchi fazodagi barcha nuqtalar to`plami elliptik paraboloid deb ataladi. *Elliptik paraboloid xam ikkinchi tartibli sirt,undan tashqari bu sirt koordinatalar boshidan o`tadi. Koordinata o`qlari bilan kesishgan nuqtalarini topaylik: a)0x o`qi bilan kisishgan nuqtasini topaylik 0x: 2 2 2 x y z p q   
Ilmiybaza.uz 
          Y=0              
2
0
x
p 
,


0
x   0,0,0
     (2) 
              Z=0 
b) 0 :
y  
2
2
2
0
0
x
y
z
p
q
x
z




     


2
0,
0
0,0,0 ;
y
y
q




       (3) 
 
 

2
2
:
2
0
0
x
y
c oz
z
p
q
x
y




      


2
0,
0
0,0,0 ;
z
z



(4) 
 
 
 Demak, elliptik paraboloid koordinata o`qlari bilan faqat koordinatalar boshidagina 
kesishadi  
 
  Koordinata tekisliklari va ularga parallel tekisliklar bilan 
kesimini tekshiraylik :  
a)x0y bilan kesishish chizig`i: 
2
2
2
0
x
y
z
p
q
z



    
2
2
0
(0,0,0)
x
y
p
q


 
  (5) 
b)X0Z bilan kesishish chizig`i: 
 
2
2
2
0
x
y
z
p
q
y



 
2
2
2
2
x
z
x
pz
p




  
(6) 
Ilmiybaza.uz Y=0  2 0 x p  ,   0 x   0,0,0 (2) Z=0 b) 0 : y 2 2 2 0 0 x y z p q x z       2 0, 0 0,0,0 ; y y q     (3)  2 2 : 2 0 0 x y c oz z p q x y       2 0, 0 0,0,0 ; z z    (4) Demak, elliptik paraboloid koordinata o`qlari bilan faqat koordinatalar boshidagina kesishadi Koordinata tekisliklari va ularga parallel tekisliklar bilan kesimini tekshiraylik : a)x0y bilan kesishish chizig`i: 2 2 2 0 x y z p q z    2 2 0 (0,0,0) x y p q     (5) b)X0Z bilan kesishish chizig`i: 2 2 2 0 x y z p q y    2 2 2 2 x z x pz p     (6)
Ilmiybaza.uz 
Bu tenglama X0Z tekislikda simmetriya o`qi 0Z dan iborat parobaladir.Parabolaning 
oz o`qi atrofida aylanishidan  xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi. P teng mas q  ga 
bo`lganda umumiy xolda elliptik paraboloid  aylanma sirt bo`la olmaydi. Uning oz  
o`qqa perpendukulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar  emas  balki ellipslar 
bo`ladi.    
 
 
c)Y0Z bilan kesishish chizig`i: 
 
2
2
2
0
x
y
z
p
q
x



   
2
2
2
2
y
z
y
pz
p




    (7) 
 
Bu xam simmetriya o`qi 0Z dan iborat Y0Z tekislikdagi parobaladir; 
d) z=h tekislik bilan kesishish chizig`i : 
   
 
2
2
2
x
y
z
p
q
z
h



   
2
2
2
x
y
h
p
q



  (8) 
 
 
 
0
0;
h
z



 a)h<0 b0`lsa, p va q (1) shartga ko`ra musbat shuning uchun 
(8) tenglik o`rinli bo`lmaydi: h>0 da (8)tenglik 
2
2
1
*2
*2
x
y
p
h
q
h



bo`lib bu tenglama z=h tekislikdagi ellipsni bildiradi  
Bundan tashqari x,y o`zgaruvchilar (1) tenglamada juft darajada qatnashganligi 
uchun elliptik paraboloid X0Z, Y0Z tekisliklarga nisbatan simmetrik joylashadi 
    Bu tekisliklarning kesishmasidan xosil bo`lgan 0Z to`g`ri chiziq elliptik 
paraboloidning o`qi deb ataladi. 
P va q  teng bo`lganda ya`ni p=q da tenglama 
2
2
2
x
y
pz


 
Ilmiybaza.uz Bu tenglama X0Z tekislikda simmetriya o`qi 0Z dan iborat parobaladir.Parabolaning oz o`qi atrofida aylanishidan xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi. P teng mas q ga bo`lganda umumiy xolda elliptik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi. Uning oz o`qqa perpendukulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar emas balki ellipslar bo`ladi. c)Y0Z bilan kesishish chizig`i: 2 2 2 0 x y z p q x    2 2 2 2 y z y pz p     (7) Bu xam simmetriya o`qi 0Z dan iborat Y0Z tekislikdagi parobaladir; d) z=h tekislik bilan kesishish chizig`i : 2 2 2 x y z p q z h    2 2 2 x y h p q    (8) 0 0; h z    a)h<0 b0`lsa, p va q (1) shartga ko`ra musbat shuning uchun (8) tenglik o`rinli bo`lmaydi: h>0 da (8)tenglik 2 2 1 *2 *2 x y p h q h    bo`lib bu tenglama z=h tekislikdagi ellipsni bildiradi Bundan tashqari x,y o`zgaruvchilar (1) tenglamada juft darajada qatnashganligi uchun elliptik paraboloid X0Z, Y0Z tekisliklarga nisbatan simmetrik joylashadi Bu tekisliklarning kesishmasidan xosil bo`lgan 0Z to`g`ri chiziq elliptik paraboloidning o`qi deb ataladi. P va q teng bo`lganda ya`ni p=q da tenglama 2 2 2 x y pz  
Ilmiybaza.uz 
ko`rinishda bo`lib aylanma paraboloid bo`ladi.O`qlari  0X yoki 0Y dan iborat 
elliptik  paraboloidning  tenglamalari mos ravishda ushbu tenglamalar bilan 
ifodalanadi. 
2
2
2
y
z
x
p
 q

    yoki    
2
2
2
x
z
y
p
 q

  
*Agar p=q bo`lsa u xolda elliptik paraboloid 
2
2
0
x
pz
y


parabolaning oz o`qi atrofida 
aylanishdan xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi. 
 
 
 
*Agar p
q
  bo`lsa, u holda elliptik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi:Uning 0z  
o`qqa perpendikulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar emas  balki ellipslar  
bo`ladi.  
Ilmiybaza.uz ko`rinishda bo`lib aylanma paraboloid bo`ladi.O`qlari 0X yoki 0Y dan iborat elliptik paraboloidning tenglamalari mos ravishda ushbu tenglamalar bilan ifodalanadi. 2 2 2 y z x p  q  yoki 2 2 2 x z y p  q  *Agar p=q bo`lsa u xolda elliptik paraboloid 2 2 0 x pz y   parabolaning oz o`qi atrofida aylanishdan xosil bo`lgan aylanma sirt bo`ladi. *Agar p q  bo`lsa, u holda elliptik paraboloid aylanma sirt bo`la olmaydi:Uning 0z o`qqa perpendikulyar tekisliklar bilan kesimlari endi aylanalar emas balki ellipslar bo`ladi.
Ilmiybaza.uz 
 
   
 
 
  
      Giperbolik paraboloid. 
2
2
2
x
y
z
p
 q

    (p>0,  q>0) tenglamani qanoatlanturuvch fazo nuqtalari 
to`plami giperbolik paraboloid deb ataladi, tenglamasi  bo`yicha giperbolik 
paraboloidning shaklini va ba`zi geometrik xossalarini aniqlash mumkin. 
Ilmiybaza.uz Giperbolik paraboloid. 2 2 2 x y z p  q  (p>0, q>0) tenglamani qanoatlanturuvch fazo nuqtalari to`plami giperbolik paraboloid deb ataladi, tenglamasi bo`yicha giperbolik paraboloidning shaklini va ba`zi geometrik xossalarini aniqlash mumkin.