PUASSON YADROSI - yulduzsimon doiraviy soha. G -  sohaning xarakteristik ko’pxilligi bo’lsin. 0  -  ning nolni nolga o’tkazadigan akslantirishlar gruppasi bo’lsin. G ni 0  ga nisbatan tranzitiv deb hisoblaymiz, ya’ni G dan istalgan ikkita nuqta 0  ga tegishli akslantirish orqali bir-biriga o’tkazilishi mumkin. Teorema 1. G -  sohaning xarakteristik ko’pxilligi bo’lsin. ( ) f  - G da uzluksiz funksiya. U holda ( ) ( , ) ( ) G z H z f        integral  da regulyar bo’lgan golomorf funksiyani aniqlaydi. Agar ( ) f z - bo’lsa, u holda 𝑓(𝑧) = ∫𝐻(𝑧, 𝜉̅)𝑓(𝜉)𝜉 ⋅ 𝐺 . Faraz qilamiz 𝑓(𝑧) = 𝐻(𝑧, 𝜔̅)𝑔(𝑧). 𝑔(𝑧)-  va ning chegarasida golomorf funksiya 𝐻(𝑧, 𝜔̅)𝑔(𝑧) = ∫𝐻(𝑧, 𝜉̅)𝐻(𝜉, 𝜔̅)𝑔(𝜉)𝜉 ⋅ 𝐺 . 𝜔 = 𝑧 deb belgilash kiritsak quyidagi Puasson formulasi o’rinli bo’ladi. 𝑔(𝑧) = ∫ 𝑃(𝑧, 𝜉̅)𝑔(𝜉)𝜉 ⋅ 𝐺 Bu yerda yadro 𝑃(𝑧, 𝜉) = 𝐻(𝑧, 𝜉̅)𝐻(𝜉, 𝑧̅) 𝐻(𝑧, 𝑧̅) Ixtiyoriy 𝑢(𝜉) funksiya 𝑢(𝑧) = ∫ 𝑃(𝑧, 𝜉̅)𝑢(𝜉)𝜉 ⋅ 𝐺 𝑢(𝑧) → 𝑢(𝜉) , 𝑧 → 𝜉 almashtirish kiritsak ,bu funksiya  da garmonik bo’ladi. Faraz qilaylik,  soha oldingi shartlarga qo’shimcha ravishda tranzitiv bo’lsin va G soha n haqiqiy o’lchamga ega. U holda Puasson yadrosini quyidagi ko’rinishda ham yozishimiz mumkin Faraz qilaylik,  soha oldingi shartlarga qo’shimcha ravishda tranzitiv bo’lsin va G soha n haqiqiy o’lchamga ega. U holda 𝑃(𝑧, 𝜉) = 1 𝑉(𝐺) [𝐵(𝜉, 𝑧, 𝑈)] Klassik sohalarda Puasson yadrosi. 1.  𝐼 da 𝑃(𝑍, 𝑈) = 1 𝑉(𝐺𝐼) [det (𝐼 − 𝑍𝑍′)] 𝑛 [det (𝐼 − 𝑍𝑈′)] 2𝑛 Bu yerda 𝑈 ∈ 𝐺𝐼,agar m=n bo’lsa 𝑃(𝑍, 𝑈) = 1 𝑉(𝐺𝐼) [det (𝐼 − 𝑍𝑍′)] 𝑛 [det (𝑍 − 𝑈)]2𝑛 2.  𝐼𝐼 da 𝑃(𝑍, 𝑈) = 1 𝑉(𝐺𝐼𝐼) [det (𝐼 − 𝑍𝑍′)] 𝑛+1 2 [det (𝐼 − 𝑍𝑈′)] 𝑛+1 3.  𝐼𝐼𝐼 da n-juft bo’lsa 𝑃(𝑍, 𝐾) = 1 𝑉(𝐺𝐼𝐼𝐼) [det (𝐼 + 𝑍𝑍′)] 𝑛−1 2 [det (𝐼 + 𝑍𝐾′)] 𝑛−1 n-toq bo’lsa . 𝑃(𝑍, 𝐾) = 1 𝑉(𝐺𝐼𝐼𝐼) [det (𝐼 + 𝑍𝑍′)] 𝑛 2 [det (𝐼 + 𝑍𝐾′)] 𝑛 𝐾 ∈ 𝐺𝐼𝐼𝐼 4.  𝐼𝑉 da 𝑃(𝑧, 𝜉) = 1 𝑉(𝐺𝐼𝑉) [𝐵(𝜉, 𝑧, 𝑈)] (1 + |𝑧𝑧′|2 − 2𝑧𝑧′) 𝑛 2 |(𝑧 − 𝜉)(𝑧 − 𝜉)′|𝑛 𝜉 ∊ 𝐺𝐼𝑉