QATTIQ JISMLAR MEXANIKASI Ma’ruza rejasi: Qattiq jismlar mexanikasi. Qattiq jism inertsiya markazining harakati. Qattiq jismning aylanma harakati. Aylanma xarakat dinamikasining asosiy tenglamasi. Jismlarning qo‘zg‘almas o‘qqa nisbatan inertsiya momenti. Ba’zi jismlarning inertsiya momenti. Shteyner teoremasi. Qattiq jismlar mexananikasi: qattiq jismlar aylanma harakatini ilgarilanma harakat dinamikasi bilan solishtirib o‘rganadi. Mexanikada ko‘p foydalaniladigan modellardan yana biri absolyut qattiq jism tushunchasidir. Absolyut qattiq jism deb, hech qanday holatda ham deformatsiyalanmaydigan, boshqacha aytganda, har qanday kuch ta’sirida ham istalgan ikkita nuqtasi orasidagi masofa o‘zgarmay qoladigan jismga aytiladi. Shuni nazarda tutish kerakki, tabiatda absolyut qattiq, ya’ni mutlaqo deformatsiyalanmaydigan jismlar yo‘q. Qattiq jismning har qanday harakatini ikkita asosiy harakat turiga – ilgarilanma va aylanma harakatlarga ajratish mumkin. Ilgarilanma harakat – bu shunday harakatki, bunda harakatlanayotgan jism bilan bog‘langan istalgan to‘g‘ri chiziq harakat davomida o‘ziga parallelligicha qoladi (3-rasm). 3-Rasm. Boshqacha qilib aytganda, ilgarilanma harakatda jismning barcha nuqtalarining bir xil vaqt oraliqlarida ko‘chishi kattalik va yo‘nalish jihatidan bir xil bo‘ladi, shu sababli barcha nuqtalarning tezligi va tezlanishi vaqtning har bir momentida bir xil bo‘ladi. Shuning uchun ilgarilanma harakat jismning bitta nuqtasining–uning massa markazining harakati deb qarashmumkin. Bunda biz jismning butun massasi uning massa markazida to‘plangan deb hisoblashimiz kerak. Barcha jismlarning massasi markazlari ularning og‘irlik markazlari bilan ustma-ust tushadi. 4 – Rasm. Aylanma harakat–bu shunday harakatki, bunda qattiq jismning hamma nuqtalari markazlari bir to‘g‘ri chiziqda yotadigan aylanalarni chizadi. Bu to‘g‘ri chiziq О О  aylanish o‘qi bo‘ladi (4 - rasm). Ko‘p hollarda bir necha jism (moddiy nuqtalar)dan iborat mexanikaviy tizimning harakat qonunlarini o‘rganish bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Bunday tizimning harakat qonunlarini o‘rganishda mazkur tizim tarkibidagi jismlarning unda qanday taqsimlanganligini yoki bu jismlar bir-biriga nisbatan tizimda qanday joylashganligini bilish zaruriyati tug‘iladi. Shu munosabat bilan inerstiya markazi (massa markazi) degan tushuncha kiritiladi. Inertsiya markazi va og‘irlik markazi degan tushunchalar orasida quyidagi farq borligini esdan chiqarmaslik kerak: og‘irlik markazi– bir jinsli og‘irlik kuchi maydonida joylashgan qattiq jismlar uchungina ma’noga ega; inertsiya markazi esa hech qanday maydon bilan bog‘liq emas va ixtiyoriy mexanikaviy tizim uchun o‘rinlidir. Og‘irlik kuchi maydonida joylashgan qattiq jismlar uchun inertsiya markazi va og‘irlik markazi bir-biri bilan mos tushadi, ya’ni bir nuqtada joylashgan bo‘ladi. Inertsiya markazi massaning taqsimlanishini tasvirlovchi geometrik nuqta bo‘lib, uning vaziyati koordinatalar boshiga nisbatan cr radius-vektor bilan quyidagicha aniqlanadi:          i i i n n n c m r m m m m m r m r m r r      1 ... ... 2 1 2 2 1 1 (73) bu yerda, cr - i- bo‘lakchaning fazodagi vaziyatini to‘la ifodalovchi radius – vektor, m – qattiq jism massasi1. Qattiq jism massalari markazining tezlanishini quyidagicha yozish mumkin: m a m m dt d r m dt d r a i i c i c            2 2 2 2 (74) Avval ko‘rib o‘tganimizdek, hamma ichki kuchlarning yig‘indisi nolga teng ekanligini hisobga olib, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi (Nyutonning ikkinchi qonunini tadbiq etib) uchun quyidagi ifodani yozish mumkin:   i m F a m   (75) 1 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [170] r r m 0 01 r r m 0 01 Demak, qattiq jism massalarining harakati massasi qattiq jism massasiga teng bo‘lgan va aynan shu qattiq jismga ta’sir qilayotgan barcha tashqi kuchlar ta’sirida sodir bo‘layotgan moddiy nuqtaning harakati kabi bo‘lar ekan. Trayektoriyasi aylanadan iborat bo‘lgan harakatga aylanma harakat deyiladi. Vaqt birligi davomidagi burilish burchagiga teng bo‘lgan kattalikka burchak tezlik deb ataladi. Agar qattiq jism t  vaqt ichida   burchakka burilsa, u holda burchak tezlik quyidagi formuladan aniqlanadi: dt d t im t           0 (76) Demak, burchak tezlik burilish burchagidan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng ekan. Notekis aylanma harakat burchak tezlanish deb, ataladigan kattalik bilan ifodalanadi. Burchak tezlikning vaqt birligi oralig‘idagi o‘zgarishiga burchak tezlanish deyiladi. Agar t  vaqt oralig‘ida moddiy nuqtaning burchak tezligi  qadar o‘zgarsa, uning burchak tezlanishi quyidagicha bo‘ladi: dt d t im t                 0 (77) Burchak tezlanish burchak tezlikdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilaga teng. Qattiq jism aylanma harakatda ishtirok etganida uni tashkil qiluvchi elementar bo‘lakchalarning harakat trayektoriyalari aylanalardan iborat bo‘ladi. Bu aylanalarning markazlari bir to‘g‘ri chiziqda yotadi va odatda, bu chiziq aylanish o‘qi deyiladi2 (5-rasm). 2 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [5] 5 –Rasm. Jismni aylanma harakatga keltiruvchi kuchning ta’siri uning qo‘yilish nuqtasiga va kuch yo‘nalishiga bog‘liq. Aylanish o‘qidan turli masofalarga qo‘yilgan aynan bir kuch jismga turli burchak tezlanish beradi. Shu sababli qattiq jism aylanma harakat dinamikasining tenglamasinikeltirib chiqarish uchun kuch va massa tushunchalaridan tashqari, kuch momenti hamda inertsiya momenti degan kattaliklar kiritiladi. Elementar bo‘lakchalarga qo‘yilgan kuchning aylanish markazidan kuch qo‘yilgannuqtaga o‘tkazilgan radius- vektor ko‘paytmasi kuch momenti deb ataladi. Kuch momentining vektori quyidagi formuladan aniqlanadi:  r F M      Elementar bo‘lakcha massasi (m) bilan bu bo‘lakchadan aylanish markazigacha bo‘lgan masofa kvadrati (r2) ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kattalik elementar bo‘lakchaning (moddiy nuqtaning) aylanish markaziga nisbatan inertsiya momenti deyiladi: I  mr2 (78) Qattiq jismni tashkil etuvchi elementar bo‘lakchalar aylanish o‘qidan turli masofalarda joylashgan (r-turlicha). Binobarin, (78) formulaga asosan elementar 6-Rasm. bo‘lakchalarning inertsiya momentlari turlicha bo‘ladi. Inertsiya momenti skalyar kattalik bo‘lgani uchun biror qo‘zg‘almas o‘qqa nisbatan jismning inertsiya momenti, uni tashkil etuvchi elementar bo‘lakchalarning shu o‘qqa nisbatan inertsiya momentlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Agar elementar bo‘lakchalar massalarini m1, m2, m3,….,mi ularning qo‘zg‘almas o‘qqa nisbatan aylanish radiuslarini r1, r2,…..ri desak, u holda jismning shu o‘qqa nisbatan inertsiya momenti quyidagi formuladan topiladi:     n i mi ri I 1 2 (79) Aylanma harakat qonunlarida ilgarilanma harakatdagi kuch o‘rniga kuch momenti, massa o‘rniga inertsiya momenti qo‘llanilgani uchun ilgarilanma harakatdagi impuls ( P  ) o‘rniga impuls momenti ( L ) kattalik kiritiladi. U holda ilgarilanma harakat uchun o‘rinli bo‘lgan   P  m ko‘rinishdagi impuls o‘rniga aylanma harakatda   L   ko‘rinishdagi impuls momenti qo‘llaniladi.   L   (80) Nyutonning dt dP F    shaklidagi qonunini aylanma harakatga tadbiq etib, aylanma harakatning asosiy tenglamasini keltirib chiqaramiz. Bunda tenglamadagi P  vektorni L bilan, F  ni kuch momenti M  bilan almashtirsak, aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni quyidagicha yoziladi:         I dt Id dt I d dt dL M     ) ( yoki   M  I (81) Demak, kuch momenti qiymat jihatidan inertsiya momenti bilan burchak tezlanish ko‘paytmasiga teng. (81) formulaga qattiq jism aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasi deyiladi. Elementar bo‘lakcha massasi (m) bilan bu bo‘lakchadan aylanish markazigacha bo‘lgan masofa kvadrati (r2) ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kattalik elementar bo‘lakchaning (moddiy nuqtaning) aylanish markaziga nisbatan inertsiya momenti deyiladi: I  mr2 Nyutonning dt dP F    shaklidagi qonunini aylanma harakatga tadbiq etib, aylanma harakatning asosiy tenglamasini keltirib chiqaramiz. Bunda tenglamadagi P  vektorni L bilan, F  ni kuch momenti M  bilan almashtirsak, aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni quyidagicha yoziladi3:         I dt Id dt I d dt dL M     ) ( yoki   M  I (81) Demak, kuch momenti qiymat jihatidan inertsiya momenti bilan burchak tezlanish ko‘paytmasiga teng. (81) formulaga qattiq jism aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasi deyiladi. Agar jismning massa markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inertsiya momenti ma’lum bo‘lsa, bu o‘qqa parallel istalgan o‘qqa nisbatan inertsiya momentini ham aniqlash mumkin. Buning uchun Shteyner teoremasidan foydalaniladi. Shteyner teoramesi quyidagicha ta’riflanadi: berilgan jismning istallagn o‘qqa nisbatan inertsiya momenti, shu o‘qqa parallel va jism massalar markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inertsiya momenti bilan jism massasining o‘qlar orasidagi masofa kvadratiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. 2 0 ma I I   (82) 3 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [14-25] O’ O H dy dr dφ 1 – Rasm. b) а) Endi ba’zi bir jinsli jismlarning inertsiya momenlarini keltirib chiqarishni misol qilib keltirsak: misol tariqasida – rasmda keltirilgan, radiusi R, massasi m va balandligi H bo‘lgan bir jinsli silindrning inertsiya markazidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inertsiya momentini hisoblab chiqaylik. Bu masalani hal qilish uchun silindrning – b rasmda ko‘rsatilgandek qismini ajratib olamiz. dy qalinlikka ega bo‘lgan silindr bo‘lakchasining hajmi quyidagiga teng: rdrdy d dV   Moddiy nuqtaning inertsiya momenti, ya’ni x dV x dm dI 2 2     ifodaga asosan bu bo‘lakchaning inertsiya momenti:   r drdy d dI    3 Yuqoridagi ifodani integrallash orqali silindrning markazidan o‘tuvchi simmetriya o‘qiga nisbatan inertsiya momentini topamiz:              2 0 4 0 0 3 4 2 R H d dy r dr I H R Bu ifodada H R m      2 silindrning massasi. Demak, – a rasmda ko‘rsatilgan silindrning massa markazidan o‘tuvchi simmetriya o‘qiga nisbatan inertsiya momenti quyidagiga teng: 2 2 I  1 mR Ba’zi bir jinsli jismlarning inertsiya momentlari: 2-Rasm. Aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi ifodasini chiqaraylik. Aylanayotgan jismning ir radiusli aylana bo‘ylab i tezlik bilan aylanayotgan mi massali bir zarrasining kinetik energiyasi quyidagiga teng: 2 2 2 2 2 2 2            i i i i i i I m r m W buyerda, iI  - zarraninginertsiyamomenti,  - burchaktezligi. Jismni tashkil qiluvchi barcha zarralarning Wi energiyalarining yig‘indisidan aylanayotgan jismning kinetic energiyasini hosil qilamiz: 2 2 2 1 2 1 . .   I I W W n i i n i i к айл          Aylanishda jism kinetic energiyasi hisobiga ish bajarishi mumkin. Bu ish aylanish kinetic energiyasining o‘zgarishiga (kamayishiga) teng bo‘ladi, ya’ni, 2 2 2 2 0   I I A   buyerda, 0  va - boshlang‘ichvaoxirgiburchaktezliklari. Agar jismbirvaqtda ham ilgarilanmaharakatda, ham aylanmaharakatdabo‘lsa, uningto‘lakinetikenergiyasiilgarilanmaharakatdagikinetikenergiyasibilanaylanishda gikinetikenergiyasiyig‘indisigatengbo‘ladi, ya’ni 2 2 2 2   I m Wк   buyerda, mvaI - qattiqjismningmassasivainertsiyamomenti,  va - uningchiziqlivaburchaktezliklari. Ilgarilanma va aylanma harakat dinamikasining ifodalashistikalari orasidagi bog‘lanish 1 – jadvalda keltirilgan. 1 – jadval. Ilgarilanma harakat Aylanma harakat Ko‘chish va yo‘l: r va S Burchak  va  Tezlik: dt ds dt dr     ,   Burcha tezlik: dt d     Tezlanish: dt d a    Burcha tezlanish: dt d     Massa: m Inertsiya momenti: I  mr2 Kuch: F  Kuch momenti:  r F M      Impuls:   P  m Impuls momenti:   L  I  Dinamikaning asosiy qonuni dt dP F    dt dL M    Ish: dA Fds Ish: dA  Md Kinetik energiya: 2 Ek  m2 Kinetik energiya: 2 Ek  I2