Qism fazolarning yig‘indisi va kesishmasi.
Reja
1. Qism fazolar va giper tekisliklar
2. Qism fazolarning yig‘indisi va kesishmasi.
F maydon ustidash V chiziqli fazoda
'
V qism to`plam berilgan bo`lsin.
Ta`rif. Agar V dagi qo`shish amaliga va vektorlarni F dagi skalyarlarga
ko`paytirish amaliga nisbatan
'
V to`plam yopiq bo`lsa, ya`ni xar qanday
'
,x y
V
uchun
'
x
y
V
va xar qanday
',
x
V
F
uchun
'
x
V
bo`lsa, u V
chiziqli fazoning qismfazosi deyiladi.
Ta`rifdagi
shart
ushbu
xar
qanday
'
,x y
V
va
,
F
uchun
'
x
y
V
shartga teng kuchli. Bundan kelib chiqadiki,
'
V qismfazoning o`zi xam
F maydon ustida chiziqli fazo xamda
'
dim
dim
V
V
(mustaqil tekshiring).
Misollar. 1) Xar qanday chiziqli fazo nol’ vektordan iborat qism fazoga
ega. Bu qism fazoning o`lchami nol’ deb olinadi va nol’ qism fazo deb ataladi.
2.
2
R tekislikda 2
0
x
y
shartni qanoatlantiruvchi barcha
1
( , )
x y nuqtalar
qismfazo xosil qiladi. Bu nuqtalarning geometrik o`rni-koordinatalar boshidan
o`tuvchi to`g`ri chiziq. Umuman, koordinatalar boshidan o`tmaydigan to`g`ri
chizikdagi nuqtalar to`plami
2
R da qismfazo xosil qilmaydi, chunki unga nol’
vektor, ya`ni (0, 0) nuqta kirmaydi.
3. 0-uch o`lchovli fizik fazoning tayin nuqtasi bo`lib, a bu nuqtadan
o`tuvchi to`g`ri chiziq, esa bu nuqtadan o`tuvchi tekislik bo`lsin. Bu nuqtani
yo`nalgan kesmalarning umumiy boshlang`ich nuqtasi deb olsak,
1( )
D va
2( )
D
lar
3
D chiziqli fazoning (35-§ dagi 1-3 misollar) qism fazolari bo`ladi. Undan
![tashqari,
agar
a
to`g`ri
chiziq
tekislikda yotsa, u xolda
1( )
D to`plam
2( )
D chiziqii fazoning qism fazosi
bo`ladi.
4. Koeffitsientlari F maydondan olingan ushbu
1
0 (
1, )
n
ik
k
k
i
S
n ta
1,...,
n
noma`lum S ta chiziqli tenglamalardan iborat bir jinsli tizimni
olamiz. Agar r soni
(
ik )
A
matritsaning rangi bo`lsa, ma`lumki, bu tizim m
r
ta
chiziqli erkli (fundamental) echimlar tizimiga ega va barcha echimlardan iborat
L to`plam fundamental echimlarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat to`plam
bilan ustma-ust tushadi. SHunday qilib, L to`plam
n
F chiziqli fazoning (
)
n
r
o`lchamli qismfazosi bo`ladi.
5. Agar n
m
bo`lsa, u xolda
n[ ]
R t fazo
m[ ]
R t ning qism fazosi.
n[ ]
R t fazolarning
xar biri (
n 1,2,...)
esa [ ]
R t fazoning qism fazosi.
V fazoning ixtiyoriy M qism to`plamini olamiz.
M
L orqali M dan
olingan vektorlar orqali chiziqli ifodalangan barcha vektorlar to`plamini
belgilaymiz. Bu to`plam M to`plamning chiziqli qobig`i deyiladi.
M
L to`plam V
ning qismfazosi bo`lib, uning o`lchami M to`plamning rangiga teng (tekshiring!).
Bundan kelib chiqadiki, agar dimV
n
bo`lsa, u xolda xar qanday m
n
natural
son uchun V fazo m o`lchamli qism fazolarga ega. Agar V cheksiz o`lchamli
bo`lsa, u xolda xar qanday m natural son uchun V fazo m-o`lchamli
qismfazolariga ega. Xaqiqatan, agar
1,...,
m
e
e
V
vektorlar chiziqli erkli bo`lsa, u
xolda
1
{ ,...,
m}
e
e
to`plam chiziqli qobig`ining o`lchami m ga teng.
Agar V fazoda
'
V qismfazo va
'
dim
dim
V
V
bo`lsa, u xolda
V '
V
.
Xaqiqatan, agar
1
{ ,...,
n}
e
e to`plam
'
V ning bazisi bo`lsa, u xolda
'
dim
dim
V
V
n
ga asosan bu to`plam V ning xam bazisi bo`ladi. SHuning uchun
'
V xamda V fazo
1
{ ,...,
n}
e
e to`plamning chiziqli qobig`i bo`ladi. V fazoning V1 qismfazosi va
a
V
vektor berilgan bo`lsin.](/media/image/qism-fazolarning-yigindisi-va-kesishmasi392page_2.png "tashqari,
agar
a
to`g`ri
chiziq
tekislikda yotsa, u xolda
1( )
D to`plam
2( )
D chiziqii fazoning qism fazosi
bo`ladi.
4. Koeffitsientlari F maydondan olingan ushbu
1
0 (
1, )
n
ik
k
k
i
S
n ta
1,...,
n
noma`lum S ta chiziqli tenglamalardan iborat bir jinsli tizimni
olamiz. Agar r soni
(
ik )
A
matritsaning rangi bo`lsa, ma`lumki, bu tizim m
r
ta
chiziqli erkli (fundamental) echimlar tizimiga ega va barcha echimlardan iborat
L to`plam fundamental echimlarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat to`plam
bilan ustma-ust tushadi. SHunday qilib, L to`plam
n
F chiziqli fazoning (
)
n
r
o`lchamli qismfazosi bo`ladi.
5. Agar n
m
bo`lsa, u xolda
n[ ]
R t fazo
m[ ]
R t ning qism fazosi.
n[ ]
R t fazolarning
xar biri (
n 1,2,...)
esa [ ]
R t fazoning qism fazosi.
V fazoning ixtiyoriy M qism to`plamini olamiz.
M
L orqali M dan
olingan vektorlar orqali chiziqli ifodalangan barcha vektorlar to`plamini
belgilaymiz. Bu to`plam M to`plamning chiziqli qobig`i deyiladi.
M
L to`plam V
ning qismfazosi bo`lib, uning o`lchami M to`plamning rangiga teng (tekshiring!).
Bundan kelib chiqadiki, agar dimV
n
bo`lsa, u xolda xar qanday m
n
natural
son uchun V fazo m o`lchamli qism fazolarga ega. Agar V cheksiz o`lchamli
bo`lsa, u xolda xar qanday m natural son uchun V fazo m-o`lchamli
qismfazolariga ega. Xaqiqatan, agar
1,...,
m
e
e
V
vektorlar chiziqli erkli bo`lsa, u
xolda
1
{ ,...,
m}
e
e
to`plam chiziqli qobig`ining o`lchami m ga teng.
Agar V fazoda
'
V qismfazo va
'
dim
dim
V
V
bo`lsa, u xolda
V '
V
.
Xaqiqatan, agar
1
{ ,...,
n}
e
e to`plam
'
V ning bazisi bo`lsa, u xolda
'
dim
dim
V
V
n
ga asosan bu to`plam V ning xam bazisi bo`ladi. SHuning uchun
'
V xamda V fazo
1
{ ,...,
n}
e
e to`plamning chiziqli qobig`i bo`ladi. V fazoning V1 qismfazosi va
a
V
vektor berilgan bo`lsin.")
tashqari,
agar
a
to`g`ri
chiziq
tekislikda yotsa, u xolda
1( )
D to`plam
2( )
D chiziqii fazoning qism fazosi
bo`ladi.
4. Koeffitsientlari F maydondan olingan ushbu
1
0 (
1, )
n
ik
k
k
i
S
n ta
1,...,
n
noma`lum S ta chiziqli tenglamalardan iborat bir jinsli tizimni
olamiz. Agar r soni
(
ik )
A
matritsaning rangi bo`lsa, ma`lumki, bu tizim m
r
ta
chiziqli erkli (fundamental) echimlar tizimiga ega va barcha echimlardan iborat
L to`plam fundamental echimlarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat to`plam
bilan ustma-ust tushadi. SHunday qilib, L to`plam
n
F chiziqli fazoning (
)
n
r
o`lchamli qismfazosi bo`ladi.
5. Agar n
m
bo`lsa, u xolda
n[ ]
R t fazo
m[ ]
R t ning qism fazosi.
n[ ]
R t fazolarning
xar biri (
n 1,2,...)
esa [ ]
R t fazoning qism fazosi.
V fazoning ixtiyoriy M qism to`plamini olamiz.
M
L orqali M dan
olingan vektorlar orqali chiziqli ifodalangan barcha vektorlar to`plamini
belgilaymiz. Bu to`plam M to`plamning chiziqli qobig`i deyiladi.
M
L to`plam V
ning qismfazosi bo`lib, uning o`lchami M to`plamning rangiga teng (tekshiring!).
Bundan kelib chiqadiki, agar dimV
n
bo`lsa, u xolda xar qanday m
n
natural
son uchun V fazo m o`lchamli qism fazolarga ega. Agar V cheksiz o`lchamli
bo`lsa, u xolda xar qanday m natural son uchun V fazo m-o`lchamli
qismfazolariga ega. Xaqiqatan, agar
1,...,
m
e
e
V
vektorlar chiziqli erkli bo`lsa, u
xolda
1
{ ,...,
m}
e
e
to`plam chiziqli qobig`ining o`lchami m ga teng.
Agar V fazoda
'
V qismfazo va
'
dim
dim
V
V
bo`lsa, u xolda
V '
V
.
Xaqiqatan, agar
1
{ ,...,
n}
e
e to`plam
'
V ning bazisi bo`lsa, u xolda
'
dim
dim
V
V
n
ga asosan bu to`plam V ning xam bazisi bo`ladi. SHuning uchun
'
V xamda V fazo
1
{ ,...,
n}
e
e to`plamning chiziqli qobig`i bo`ladi. V fazoning V1 qismfazosi va
a
V
vektor berilgan bo`lsin.
Ta` r i f. V fazoda yotuvchi ushbu
'
'
{
/
}
a
V
a
x x
V
to`plam
'
V qismfazoni a
vektorga siljitishdan xosil bo`lgan gipertekislik deb ataladi.
Misollar. 1) Agar V chiziqli fazoda V1 qismfazo sifatida nol’ qismfazo
olinsa, u xolda bu qismfazoni a vektorga siljitishdan xosil bo`lgan gipertekislik
faqat a vektorning o`zidangina iborat.
2. R2 da ushbu 2
0
x
y
to`g`ri chiziq bilan aniqlangan qismfazoni olib, uni
a (3, 4)
vektorga siljitsak,
1
a
V
gipertekislik V1 to`g`ri chiziqqa parallel’
bo`lgan va a nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziqni beradi; uning tenglamasi
2(
3)
4
0
x
y
, ya`ni 2
2
0.
x
y
3.
2( )
D fazoda oxirgi nuqtasi tekislikdagi berilgan to`g`ri chiziqda
yotuvchi barcha vektorlar bu fazoda gipertekislik xosil qiladi.
4.
3
D fazoda oxirgi nuqtasi berilgan to`g`ri chiziqda (tekislikda) yotuvchi
barcha vektorlar bu fazoda gipertekislik xosil qiladi.
5. Koeffitsientlari F maydondan olingan va birgalikda bo`lgan n
noma`lumli ixtiyoriy chiziqii tenglamalar tizimining echimlari to`plami
n
F
fazoda gipertekislik xosil qiladi.
Bu gipertekislik berilgan chiziqli tenglamalar tizimiga mos bir jinsli chizikli
tenglamalar tyuimining echimlaridan iborat V’ qism fazoni berilgan tizimning
biror xususiy echimiga siljitishdan xosil bo`ladi.
1-teorema. V chizitsli fazoning biror V1 qismfazosi berilgan bo`lsin. V’
qismfazoni siljitishdan xosil bo`lgan barcha gipertekisliklar V fazoning yoyilmasini
beradi.
Is bot. Xaqiqatan, xar qanday a
V
uchun
'
a
a
V
, chunki
0 V'
. Undan
tashqari,
agar
a
b V
bo`lsa,
u
xolda
'
a
b
V
va
demak
'
'
'
(
)
.
a
V
b
a
b
V
b V
2 -t e o r e m a. Xar qanday berilgan gipertekislik faqatgina yagona qismfazoni
siljitish bilan xosil qilinadi.
Isbot. Xaqiqatan, V-chiziqli fazo, V' va V"- undagi qismfazolar,
,a b
V
shunday vektorlar bo`lsinki,
'
''.
a
V
b
V
Bundan xar bir qism fazo
nol’ vektorga ega bo`lgani uchun
'
a
b
V
va
''.
a
b
V
Ikkinchi tomondan xar
qanday
'
x
V
uchun
'
''.
a
x
a
V
b
V
Demak,
''.
a
b
x
V
Bundan esa
'',
x
V
ya’ni
'
''
V
V
munosabat
kelib
chiqadi.
SHunga
o`xshash
''
'
V
V
munosabat olinadi. Demak,
'
''
V
V
Isbotlangan teorema quyidagi ta`rifni aytishga imkon beradi.
T a ` r i f. Gipertekislikning o`lchami deb siljitish natijasida bu gipertekislikni
xosil qilgan yagoni qismfazoning o`lchamiga aytshadi.
V fazoda gipertekisliklarning o`lchami 0 bo`lganlari nuqtalar, o`lchami 1
bo`lganlari-to`g`ri chiziqlar, o`lchami 2 bo`lganlari - tekisliklar deb ataladi.
Xususan, agar
3
V
R
bo`lganda biz fazo analitik geometriyasining mos
tushunchalariga kelamiz.
QISMFAZOLARNING YIG`INDISI
VA KESISHMASI
V chiziqli fazoning V1 va V2 qismfazolari berilgan bo`lsin. qismfazolarning
kesishmasi doim qismfazo. Xaqiqatan, agar ,
F
va
1
2
,x y
V
V
bo`lsa, u xolda
1
x
y
V
va
2,
x
y
V
demak
1
2.
x
y
V
V
Qismfazolarning to`plam sifatida yig`indisi
2
2,
V
V
umuman aytganda,
qismfazo emas (misol keltiring).
SHuning uchun quyidagi ta`rifni beramiz.
Ta ` r i f. Barcha ushbu
1
2
1
1
2
2
,
,
x
x
x
V
x
V
ko`rinishdagi pig`indilardan
tuzshgan to`plam V1 va V2 qismfazolarning yig`indisi deb ataladi va
1
2
V
V
ko`rinishda
belgilanadi.
1
2
V
V
qismfazo. Xaqiqatan, agar
,
F
va
1
2
,x y
V
V
bo`lsa, u xolda
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
,
;
,
,
,
.
x
x
x
y
y
y
x y
V
x
y
V
Bundan
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
.
x
y
x
x
y
y
x
y
x
y
V
V
1-teorema. Agar V chiziqli fazo
1
, 2
V V chekli o`lchamli qismfazolar bo`lsa,
u xolda
1
2
V
V
xam chekli o`lchamli va
1
2
1
2
1
2
dim(
)
dim
dim
dim(
).
V
V
V
V
V
V
Isbot.
1V
V
qism fazoning o`lchami k va
1
{ , 2
,...,
k }
e e
e
undagi bazis bo`lsin.
Bu bazis 37-§ dagi 3-jumlaga asosan V1 dagi bazisgacha xamda V2 dagi bazisgacha
to`ldirilishi mumkin. Bunga asosan shunday
1
2
1
,
,...,
n
f
f
f
V
vektorlar mavjudki,
1
2
1
{ ,
,...,
,
,...,
}
k
n
e e
e
f
f
tizim –V1 ning bazisi va shunday
1
2
,...,
m
g
g
V
vektorlar
mavjudki
1
1
{ ,...,
,
,...,
}
k
m
e
e
g
g
tizim
–V2
ning
bazisi
bo`ladi.
Ushbu
1
2
1
1
{ ,
,...,
,
,...,
,
,...,
}
k
n
m
e e
e
f
f
g
g
tizimning
1
2
V
V
fazoda bazis ekanligini ko`rsatamiz.
Bu vektorlar chiziqli erkli. Xaqiqatan, agar
1
2
1
1
,
,...,
,
,...,
,
,...,
k
n
m
v
v
F
uchun
1 1
1 1
1
1
...
...
0
k
k
n
n
m
m
e
e
f
f
v g
v g
bo`lsa,
u
xolda
1 1
1 1
1
1
...
...
...
.
k
k
n
n
m
m
e
e
f
f
v g
v g
Bu tenglikning chap tomoni V1 ning
vektori, o`ng tomoni esa V2 ning vektori bo`lgani uchun bu vektorlarning ikkalasi
xam
1
2
V
V
ga tegishli va demak
1,...,
k
e
e lar orqali ifodalanadi. SHunday qilib,
1
1
1 1
...
...
,
m
m
k
k
v g
v g
e
e
1 1
1
1
...
...
0
k
k
m
m
e
e
v g
v g
.
Bundan
1
1
{ ,...,
,
,...,
}
k
m
e
e
g
g
tizimning
chiziqli
erkliligiga
asosan
1
2
1
...
...
0.
k
m
v
v
Oxirgi
munosabatlardan
1 1
1 1
1
1
...
...
...
0
k
k
n
n
m
m
e
e
f
f
v g
v g
tenglikni
olamiz.
Bundan
esa
1
1
{ ,...,
,
,...,
}
k
n
e
e
f
f
tizimning
chizikli
erkliligiga
asosan!
1
2
1
...
...
0.
k
n
Demak
1
1
1
{ ,...,
,
,...,
,
,...,
}
k
n
m
e
e
f
f
g
g
tizim chiziqli erkli.
Endi ixtiyoriy
1
2
x
V
V
vektor bu tizim orqali chiziqli ifodalanishini
ko`rsatamiz. Xar bir
1
2
x
V
V
vektor
1
2
1
1
2
2
,
,
x
x
x
x
V x
V
ko`rinishga ega. endi
1
1
x
V
vektor
1
1
{ ,...,
,
,...,
}
k
n
e
e
f
f
tizim orqadi va
2
2
x
V
vektor
1
1
{ ,...,
,
,...,
}
k
m
e
e g
g
tizim
orqali ifodalanadi. Demak
1
2
x
x
x
vektor
1
1
1
{ ,...,
,
,...,
,
,...,
}
k
n
m
e
e
f
f
g
g
tizim orqali
chiziqli ifodalanadi. SHunday qilib,
1
1
1
{ ,...,
,
,...,
,
,...,
}
k
n
m
e
e
f
f
g
g
tizim
1
2
V
V
fazoning bazisi ekanligi ko`rsatildi. Bundan
1
2
1
2
1
2
dim(
)
(
)
(
)
dim
dim
dim
.
V
V
k
n
m
k
n
k
m
k
V
V
V
V
Ta ` r i f. Agar xar qanday
1
2
x
V
V
, vektor
1
2
1
1
2
2
,
,
x
x
x x
V x
V
ko`rinishda
yagona usul bilan ifodalansa,
1
2
V
V
yig`indi to`g`ri yig`indi deb ataladi.
2 - t e o r e m a.
1
2
V
V
yig`indi to`g`ri yig`indi bo`lishi uchun
1
2
V
V
qismfazoning nol` fazo bo`lishi zarur va kifoya.
Isbot.
1
2
V
V
to`g`ri yig`indi va
1
2
1
1
2
2
,
,
x
V
V
x
V
x
V
bo`lsin. u holda
1
1
2
2
,
x
x
V
x
x
V
va ushbu
1
2
1
2
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
tenglikdan
1
2
V
V
to`g`ri
yig`indiligiga asosan
1
1
.
x
x
x
Bundan
x 0,
ya`ni
1
2
V
V
nol’ fazo.
Endi
1
2
{0}
V
V
bo`lsin. U xolda
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
x
x
y
y x y
V x
y
V
tenglikdan
1
1
2
2
x
y
y
x
tenglikni olamiz. Bu erdan
1
1
1
2
2
2
,
x
y
V
y
x
V
ekanligini nazarga
olsak
1
1
2
2
0.
x
y
y
x
SHuning uchun
1
1
2
2
,
.
x
y x
y
Bu erda
1
1
1
,
x y
V
va
2
2
2
x ,
y
V
vektorlar ixtiyoriy bo`lgani uchun
1
2
V
V
to`g`ri yig`indi bo`ladi.
