Regressiyaning xususiy tenglamasining yozilishi va elastiklikning xususiy
koeffitsientini aniqlash
y=a+bi⋅x1+b2⋅x2+...+b p⋅x p+ε - ko‘p omilli regressiya chiziqli tenglamasi
asosida regressiyaning xususiy tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin:
{
y x1⋅x 2⋅x3.... x p=f ( x1),
yx2⋅x1⋅x3. .. x p=f (x2),
......................
yx p⋅x1⋅x2. .. xp−1. =f ( x p).
, (8.1)
ya’ni ushbu tenglamalar sistemasi natijaviy belgini mos x omil belgi bilan, ko‘p omilli
regressiyada e’tiborga olinuvchi qolgan belgilarini o‘rtacha qiymatida ushlab turgan
holda bog‘lanishini ifodalaydigan regressiya tenglamalaridan iborat.
Regressiyaning xususiy tenglamalari quyidagi ko‘rinishga ega:
{
y x1⋅x 2,x3 ...x p=a+b1¿ x1+b2¿¯x2+b3¿¯x3+...+b p¿¯x p+ε
yx2⋅x1 ,x3.. . xp=a+b1¿¯x1+b2¿¯x2+b3¿¯x3+...+bp¿¯xp+ε
.....................................................................
yx p⋅x1, x2, ... x p−1=a+b1¿¯x1+b2¿¯x2+...+b p−1¯ x p−1+b p¿¯x p+ε
(8.2)
Ushbu tenglamalarga mos omillarning o‘rtacha qiymatlarini qo‘yib chiqsak, ular
juft chiziqli regressiya tenglamasining ko‘rinishini olib quyidagicha ifodalanadi:
{
^y x1⋅x2, x3...x p=A1+b1¿ x1,
^y x2⋅x1, x3... x p=A2+b2¿ x2,
................................
^yx p⋅x1, x2, ... x p−1=A p+bp¿x p ,
1
bu yerda,
{
A1=a+b2⋅¯x2+b3⋅¯x3+...+b p⋅¯x p
A2=a+b1⋅¯x1+b3⋅¯x3+...+b p⋅¯x p
..................................................
A p=a+b1⋅¯x1+b2⋅¯x2+...+b p−1¯x p−1
Juft regressiyadan regressiyaning xususiy tenglamasini farqi shundan iboratki, u
omillarni natijaga alohida-alohida ta’sirini tavsiflaydi, chunki bir omilni ta’sirini
o‘rganilayotganda qolganlari o‘zgarmas holda ushlab turiladi. Qolgan omillarni ta’sir
darajasi ko‘p omilli regressiya tenglamasining ozod hadida hisobga olinadi. Bunday
holat regressiyaning xususiy tenglamasi asosida elastiklikning xususiy koeffitsientini
aniqlash imkonini beradi, u quyidagicha ifodalanadi:
Э yxi=bi¿
xi
^yxi⋅x1x1...xi−1⋅xi+1⋅xp
,
(8.3)
bu yerda: bi - qo‘p omilli regressiya tenglamasida xi omil uchun regressiya
koeffitsienti;
^y xi⋅x1⋅x2... xi−1⋅xi+1⋅xp - regressiyaning xususiy tenglamasi.
Berilgan ma’lumotlar asosida to‘plam bo‘yicha o‘rtacha elastiklik ko‘rsatkichini
(8.3) dan foydalanib topish mumkin, ya’ni
¯Э yx
i
=bi¿ ¯xi
¯yxi .
8.2. Ko‘p omilli korrelyatsiya
Ko‘p omilli regressiya tenglamasining amaliy ahamiyati ko‘p omilli korrelyatsiya
koeffitsienti va uning kvadrati - determinatsiya koeffitsienti yordamida baholanadi.
Ko‘p omilli korrelyatsiya koeffitsienti qaralayotgan omillar to‘plamini
o‘rganilayotgan belgiga bog‘lanish darajasini tavsiflaydi, ya’ni omillarni birgalikda
natijaviy belgiga ta’sir kuchini tavsiflab beradi.
2
Ko‘p omilli korrelyatsiya ko‘rsatkichi o‘zaro bog‘lanish shakllaridan qat’iy nazar
ko‘p o‘lchovli korrelyatsiya indeksi kabi aniqlanishi mumkin:
Ryx1 x21⋅1 xp=√
1−σ qol
2
σ y
2 ,
(8.4)
bu yerda: σ qol
2 −y=f (x1,x2,...,xp) tenglama uchun
qoldiq dispersiya,
σ qol
2 =∑ ( y−^yx1 ,x21⋅1 x p)
2
n
;
σ y
2
-natijaviy belgining umumiy dispersiyasi,
σ y=∑ ( y−¯y )
2
n
.
Ko‘p omilli korrelyatsiya indeksini tuzish metodikasi juft bog‘lanishnikiga
o‘xshash. Uning o‘zgarish chegarasi ham 0 dan 1 gacha. U 1 ga qanchalik yaqin bo‘lsa
natijaviy belgining barcha omillar bilan bog‘lanish darajasi shunchalik yuqori bo‘ladi.
Ko‘p omilli korrelyatsiya indeksining qiymati juft omilli korrelyatsiyalar indekslarining
maksimal qiymatidan katta yoki unga teng bo‘lishi kerak, ya’ni,
Ryx1x2 ...xp≥Ryxi(max) (i=1,p).
Bog‘lanish chiziqli bo‘lganda korrelyatsiya indeksi formulasini juft korrelyatsiya
koeffitsienti orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
Ryx1 x2 ...x p=√∑ βxi¿r yxi.
(8.5)
bu yerda: βx i - regressiyaning standartlashgan koeffitsienti;
r yxi - natijaning har bir omil bilan juft korrelyatsiya koeffitsienti.
Chiziqli regressiya uchun ko‘p omilli korrelyatsiya indeksi formulasi ko‘p omilli
korrelyatsiya chiziqli koeffitsienti yoki korrelyatsiya koeffitsienti to‘plami deb
nomlanadi.
Chiziqsiz bog‘lanish uchun ham ko‘p omilli korrelyatsiya indeksi korrelyatsiya
koeffitsienti to‘plamiga teng bo‘lishi mumkin. Firma uchun daromad modeli u quyidagi
ko‘rinishga ega bo‘lsa:
3
y=a+b1⋅x1+b2⋅ln x2+b3⋅ln x3+b4⋅ln x 4+ε ,
bu yerda: x1 - reklama uchun harajatlar;
x2 - firma kapitali;
x3 - hudud bo‘yicha sotilgan ma’lum bir guruh tovarlarni firmaning umumiy
mahsulotlaridagi ulushi;
x4 - firmaning avvalgi yilga nisbatan sotilgan mahsulotlari hajmining
ko‘payish foizi.
x1 omil chiziqli, x2,x3 ,x4 - omillar logarifmik shaklda berilgani bilan bog‘lanish
zichligini baholash chiziqli ko‘p omilli korrelyatsiya koeffitsienti yordamida amalga
oshirilishi mumkin.
Xuddi shunday natijani natijaviy belgining qoldiq va umumiy dispersiyalari nisbati
bo‘yicha aniqlangan ko‘p omilli determinatsiya indeksi orqali ham olish mumkin.
8.3. Xususiy korrelyatsiya
Yuqorida ko‘rib o‘tilganidek, ko‘p omilli chiziqli regressiyada qatnashuvchi
omillarni ranjirlash regressiyaning standartlashtirilgan koeffitsientlari ( β ) orqali ham
amalga oshirilishi mumkin. Bunga, chiziqli bog‘lanishlar uchun, xususiy korrelyatsiya
koeffitsientlari orqali ham erishish mumkin. O‘rganilayotgan belgilar chiziqli
bog‘lanishlarda bo‘lmagan holatlarda esa bu vazifani hususiy determinatsiya
koeffitsientlari bajaradi. Bundan tashqari, hususiy korrelyatsiya koeffitsientlari
omillarni saralash muammolarini yechishda qo‘llaniladi, ya’ni u yoki bu omilni
modelga kiritish masalasi xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari orqali isbotlab beriladi.
Xususiy korrelyatsiya koeffitsienti (yoki indeksi) natija bilan regressiya
tenglamasiga kiritilgan bitta omil orasidagi bog‘lanishning zichligini, boshqa omillar
ta’siri o‘zgarmagan holda, tavsiflaydi.
4
Xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari tahlil uchun modelga kiritilgan yangi omil
hisobiga kamaygan qoldiq dispersiyani yangi omil kiritilmasdan oldingi qoldiq
dispersiyaga bo‘lgan nisbatiga teng.
S yx1
2 =∑ ( yi−^y x1)
2
n
.
Qo‘shimcha omil kiritilishiga qadar bo‘lgan dispersiya -
S yx1
2
da bu kamayishning
hissasi qancha ko‘p bo‘lsa, y bilan x2 orasidagi bog‘lanish, x1 omilining ta’siri o‘zgarmas
bo‘lganda, shuncha zich bo‘ladi. Bu miqdorni kvadrat ildiz ostidan chiqarsak, bizga u ni
x2 bilan bog‘lanish zichligini “toza” ko‘rinishda ifodalovchi xususiy korrelyatsiya
indeksini beradi.
Demak, x2 omilni y natijaga ta’sirini quyidagicha aniqlash mumkin:
r yx 2 x1=√
S yx1
2 −S yx1 x2
2
S yx1
2
.
x1 omilning y natijaga xususiy ta’siri ham xuddi shu kabi aniqlaniladi:
r yx 1x 2=√
S yx2
2 −S yx1 x2
2
Syx 2
2
.
Olingan natijalarni taqqoslab ko‘rsak, mahsulot hajmiga ko‘proq korxonaning
texnik ta’minoti ta’sir etishini ko‘rishimiz mumkin.
Agar qoldiq dispersiyani
Sqol1
2
=σ y
2(1−r )
2
ko‘rinishda determinatsiya koeffitsienti
orqali ifodalasak, u holda xususiy korrelyatsiya koeffitsienti formulasi quyidagicha
ko‘rinishga ega bo‘ladi:
r yx 1x 2=√
S yx2
2 −S yx1 x2
2
Syx 2
2
=√
1−
S yx1 x2
S yx2
2
=√
1−
1−R yx1x2
2
1−Ryx 2
2
,
va mos ravishda x2 uchun
5
