Ilmiybaza.uz RIM RAQAMLARIGA DOIR MASALAR. GUGURT CHO`PLARI BILAN BAJARILADIGAN MASALALAR. QUYIB OLISHGA DOIR MANTIQIY MASALALAR. TAROZIGA TORTISHGA DOIR MASALALAR. MANTIQIY MASALALAR VA BOSHQOTIRMA MASALALAR. REJA: 1. Rim raqamlariga doir masalar. Gugurt cho`plari bilan bajariladigan masalalar. 2. Quyib olishga doir mantiqiy masalalar. Taroziga tortishga doir masalalar. 3. Mantiqiy masalalar va boshqotirmali masalalar. Ilmiybaza.uz Tayanch iboralar: Boshlangʻich sinf, Sonli rebus, matematik qonuniyat, kombinatorika ,moslik, munosabat, nostandart masala, didaktik funksiya. 1. Rim raqamlari qadimgi rimliklar tomonidan nopozitsion sanoq sistemasida qoʻllanilgan raqamlardir. Rim raqamlari — qadimgi rimliklar qoʻllagan raqamlar. Rim raqamlari 7 ta: I V X L C D M Rim raqamlar aslida lotin harflari boʻlib, ularning son qiymatlari quyidagicha: Har qanday natural sonni Rim raqamlari yordamida yozish mumkin, bunda quyidagi qoidaga rioya qilinadi: 1. Katta raqam kichigidan oldin yozilsa, raqamlar qoʻshiladi. Masalan, LI = 50 + 1 = 51; CI = 100 + 1 = 101; XI = 10 + 1 = 11. 1. Kichik raqam kattasidan oldin yozilsa, katta raqamdan kichigi ayriladi. Masalan IL = 50 — 1 = 49; IC = 100 — 1 = 99; IX = 10 — 1 = 9. Sonlarni yozishda ayni bir Rim raqamlari ketma-ket 3 martadan koʻp qatnashmaydi. Ilmiybaza.uz Masalan, XXX = 30, ammo 40 oʻrniga XXXX emas, balki XL = 50 — 10 = 40 yoziladi. Rim raqamlari yordamida sonlar ustida arifmetik amallar bajarish noqulay. Rim raqamlari endilikda asrlar, asar boblari, oylarning raqamlari, tartib sonlarini belgilashda qoʻllaniladi. Masalan, XXI asr, VII bob, sentyabr — IX oy, III chorak. Bu raqamlar miloddan avvalgi 500-yillarda etrusklar tomonidan ixtiro qilingan, ammo Rimliklar ularni keng qo'llashgan, shuning uchun bu raqamlarga bunday nom berilgan. Qadimgi rim xalqlari hozirgi kunda ham „rim raqamlari“ nomi bilan saqlanib kelayotgan raqamlash tizimdan foydalanganlar. Biz va butun dunyo, bu tizimdan hozirda ham foydalanamiz. Rim raqamlari quyidagi holatlarda ishlatiladi: 1. Asrlarni ifodalashda: XXI asr, miloddan avvalgi IV asr. 2. Kengash, qurultoy, konferensya, majlis va hokazolar raqamlarini ifodalash uchun: Davlat bayrogʻi Oʻzbekiston Respublikasi Oliy Kengashining VII sessiyasida tasdiqlangan. 3. Davomiy musobaqalar va tanlovlar raqamlarida: XXII Qishki Olimpiada oʻyinlari. 4. Qirol, podshoh, imperatorlar nomlaridagi raqamlar: Doro I, Napoleon III, Yelizaveta II. 5. Asar yoki qonun boblari, boʻlimlarini ifodalashda: IV bob, XIII boʻlim. 6. Kvartal (chorak — yilning toʻrtdan bir qismi) ni ifodalash uchun: 2020-yilning III choragi. 7. Soatlarda rim raqamlarini ishlatish holati keng tarqalgan — qoʻl soatlarida ham, devoriy soatlarda ham. Ilmiybaza.uz Rim raqamlari bilan amalda ishlash uchun gugurt va sanoq cho’plari hamda zukkolik talab qilinadi. 1. 2. Gugurt tayoqchasi - bu bolalar va kattalar uchun mantiqiy mashqlarning eng qadimiy turlaridan biri. Asl nusxa - bambuk tayoqchalari bilan - taxminan 4 ming yil oldin qadimgi Xitoyda paydo bo'lgan. Ushbu vazifalarning mohiyati: taklif qilingan shart bajarilishi uchun siz bir yoki bir nechta gugurtni o'zgartirishingiz kerak. Keling, "gugurt jumboqlari" ning qanday afzalliklari borligini, ular nimaga ta'sir qilishini, nima ekanligini va ularni qanday hal qilishni aniqlaymiz. Nega bizga gugurt bilan jumboqlar kerak? Bunday muammolarni hal qilish quyidagilarni rivojlantiradi. Fikrlash - bunday muammolarning asosiy jihati shundaki, javob odatda aniq emas. Bundan tashqari, ba'zida birinchi qarashda jumboqni umuman hal qilishning iloji yo'qdek tuyuladi. Siz boshingizda yoki qalam bilan kamida bir necha daqiqa fikr yuritishingiz kerak. Shubhasiz, bunday mashqlar mantiqni rivojlantirish va bolada fazoviy fikrlashni rivojlantirish uchun foydalidir. Tasavvur. Bu erda hamma narsa aniq: agar u yoki bu gugurtni harakatga keltirsak, nima bo'lishini aniqlab, biz miyada "tasavvur markazini" rivojlantiramiz. Qisqa muddatli xotira. Bu, ayniqsa, bunday muammolarni eslab, ongida hal qiladiganlar uchun to'g'ri keladi. Diqqat va qat'iyatlilik. Diqqat va qat'iyatlilik bo’lmasa bunday jumboqlarni hal qilib bo'lmaydi. Qaror qabul qilish qobiliyati. Bu erda ham hamma narsa aniq: mantiq va tasavvur bilan yaxshi ishlaydiganlar uchun deyarli har qanday vaziyatdan, shu jumladan nostandart vaziyatlardan chiqish yo'lini topish qiyin bo'lmaydi. Nozik vosita mahorati. Bunda asosan bolalar uchun tegishli. Qo'l va barmoqlarning nozik, aniq harakatlari nutq markazini rivojlantiradi, vizual xotirani muvofiqlashtiradi, yaxshilaydi. Ilmiybaza.uz O'z-o'zini hurmat qilish. Ko'rinib turibdiki, uning bunga nima aloqasi bor? Aloqa to'g'ridan-to'g'ri: qiyin vazifani hal qilib, biz o'zimizni yanada ishonchli his qilamiz va qiyinchiliklarga berilishni to'xtatamiz. Bunday jumboqlarning afzalliklari nimada? Mavjudligi. Hech narsa sotib olishingiz yoki hatto Internetda kezishingiz shart emas - ehtimol hammada gugurt qutisi bo'ladi va bunday muammolarni hal qilish uchun maxsus shartlar talab qilinmaydi Ko'p qirralilik. "Gugurt cho’plari" mos ravishda kattalar va bolalar uchun mos keladigan turli darajadagi qiyinchilikka ega. Ratsionallik. Agar do'kondagi metall yoki 3D jumboqlar oxir-oqibat javonlarda chang to'plashsa, ular endi hech narsaga mos kelmasa, gugurtlarning bevosita maqsadi bor.Bundan tashqari, jumboqlar uchun ular qayta-qayta ishlatilishi mumkin. Gugurt cho'pi orqali tasavvurni kengaytiruvchi jumboqlar. Berilgan topshiriqni bajarish uchun gugurtlarni olib tashlang yoki o’zgartiring. Bu murakkab jarayon, lekin qiziqarli. 1. Kvadratlar sonini ko’paytiring. Ikkita gugurtni shunday joylashtiringki, ular beshta kvadrat yettitani tashkil qilsin. 2. Shaklni o’zgartiring. Oltita kvadrat va to’rtburchak yasash uchun ikkita gugurtni siljiting. Ilmiybaza.uz 3. Bitta katta o’qni ikkita kichik o'qga aylantirish uchun to’rtta gugurtni siljiting. 4. Ikkita gugurtni surib, archani baliqqa aylantiring. 5. Ikkita gugurtni olib, to’g’ri tenglik hosil qiling. 6. Kvadratlar sonini kamaytiring. O’nta gugurtni olish hisobiga faqat to’rtta kvadrat qoldiring. Ilmiybaza.uz 7. Turli o’lchamdagi sakkiz uchburchak hosil qilish uchun to’rtta gugurtni ajrating. Gugurtlarni bir-birining ustiga yopishtirish mumkin. 8. Ketma-ketlikni tiklang va so'roq belgisini kerakli raqam bilan almashtiring. Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar. 1. 1. Uch dona gugurt cho`pini shunday joyini almashtiringki, natijada baliq teskari tomonga qarab suzsin. (ya`ni baliqni 180 gradusga aylantiring) 2. 2. 10 ta gugurt cho’pidan kalit yasalgan. 4 ta cho’pni siljitib, 3 ta kvadrat yasang. 3. Uchta gugurt cho’pini olib tashlab kichikroq son hosil qiling. Ilmiybaza.uz 4. Uchburchaklar sonini ko’paytiring. Ikkita gugurtni surib uchta uchburchak hosil qiling. Topshiriqlarni qay darajada to’g’ri bajarganligingizni tekshiring. 2. Quyishga doir masalalar hajmi ma’lum bo‘lgan ikkita yoki undan ortiq bo‘sh idishlardan foydalanib, talab etilgan miqdordagi suyuqlikni o‘lchashga doir bo‘lib, ularni yechishda faqat ikkita operatsiya: idishdagi suyuqlikni to‘la bo‘shatish yoki idishga to‘ldirib suyuqlikni quyishga ruxsat beriladi. Bu masalalarni yechishga innovatsion yondoshishni amalga oshirish yo‘llari bilan o‘qituvchilarini tanishtirish metodikasini ko‘rib o‘tamiz. Bu turdagi masalalar bugungi kunda boshlang`ich sinflarning amaldagi matematika darsliklarida o‘z ifodasini topgan bo‘lib, o‘quvchilarni ularni yechishga o‘rgatish ko‘nikmasini tarkib toptirish muhimdir. 1-masala. 7 litr hajmli va 3 litr hajmli idishlardan foydalanib, ichimlik suvi jo‘mragidan 5 litr suvni qanday qilib quyib olish mumkin? Idishlardagi suvni to‘kish uchun suv chanog`i mavjud. Yechish. 1. Masalani tahlil etib, bir necha urinishlardan so‘ng (masalan, katta idishni to‘ldirib, so‘ngra undan kichik idishga quyib, 4 litr suvni hosil qilamiz; lekin biz 5 litr suvni olishimiz zarur. Shuning uchun yana ikkala bo‘sh idishlardan foydalanib, ularni to‘ldirib va bo‘shatib, bu holda ham muvaffaqiyatsizlikka Ilmiybaza.uz uchrasak, boshqa holni sinab ko‘rish uchun ishni yangidan boshlaymiz va h.k.) uning yechimini topishimiz mumkin. Demak, agar masala shartida berilganlardan noma’lumga qarab boradigan bo‘lsak bir necha urinishlardan so‘ng tasodifiy holda biz yechimni olishimiz mumkin. Lekin bu usulni qo‘llash, ya’ni berilganlardan talab etilayotganga qarab borish (boshidan oxiriga qarab borish) usulining samaradorligi past bo‘ladi. 2. Agar analiz usulini, ya’ni “oxiridan boshiga qarab borish”usulini qo‘llasak, ya’ni masala yechilgan deb hisoblasak, u holda javobni quyidagicha tasavvur qilamiz: 7 litr hajmli idishda 5 litr suv bo‘lib, 3 litr hajmli idish bo‘sh bo‘ladi. Bu natijani undan oldingi qaysi natijadan hosil qilishimiz mumkinligini aniqlaymiz. Buning uchun 7 litr hajmdagi idishni to‘ldirib, undan aniq 2 litr suvni quyib olishimiz zarur. Buni amalga oshirish uchun esa 3 litr hajmli idishda faqat 1 litr suv bo‘lishi shart. Masalani yechishga olib keladigan g`oya ham xuddi shundan iboratdir. 2 – masala. 5 litr xajmli va 3 litr xajmli idishlardan foydalanib, ichimlik suvi jo‘mragidan 1 litr suvni qanday qilib quyib olish mumkin? Idishlardagi suvni to‘kish uchun suv chanog`i mavjud. Yechish: Masala yechimini jadval ko‘rinishida ifodalaymiz Ushbu masala shartlari saqlangan holda 2 litr, 3 litr, 4 litr, 5 litr,6 litr, 7 litr va 8 litr suvlarni qanday qilib quyib olish mumkinligini aniqlaylik. –3 litr, 5 litr va 8 litr suvni oson quyib olish mumkin. Buning uchun idishlardan birini yoki ikkalasini to‘ldirish yetarli. Ilmiybaza.uz – 6 litr suvni quyib olish uchun 3 litrli idishni to‘ldirib, uni 5 litrli idishga quyamiz, so‘ngra yana 3 litrli idishni to‘ldiramiz, ikkala idishdagi suv 6 litrni tashkil etadi; – 2 litr suvni quyib olish uchun 5 litrli idishni to‘ldirib, undan 3 litrli idishga quyamiz, so‘ngra 3 litrli idishni to‘kib bo‘shatib, unga katta idishdagi 2 litr suvni quysak va 5 litr idishni to‘ldirsak, ikkala idishdagi suv 7 litrni tashkil etadi; – 4 litr suvni quyib olish uchun 5 litrli idishni to‘ldirib, uni 3 litrli idishga quyib va uni to‘kib bo‘shatib, unga endi katta idishdagi 2 litr suvni quyib, undan so‘ng, yana 5 litrli idishni to‘ldirib, undan 3 litr idish to‘lgunga qadar suv quysak, katta idishda 4 litr suv qoladi. 3- masala. 9 litrli va 12 litrli idishlardan foydalanib, 4 litr suvni o‘lchab olish mumkinmi? Yechish. Dastlab idishlarning hajmi litrlarda 9 va 12 bo‘lib, bu sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi 3 ga teng ekanligidan, ushbu idishlar yordamida o‘lchab olinadigan ixtiyoriy suvning hajmi 3 ga bo‘linishini ko‘rsatamiz. Berilgan idishlar yordamida talab etilayotgan hajmdagi suvni o‘lchash oldingi masaladagi kabi oddiy operatsiyalar ketma- ketligini tashkil etadi. U holda agar idishlardagi suvning miqdori operatsiyalar boshlangunga qadar 3 ga karrali bo‘lsa, bu operatsiyalarning har biridan so‘ng idishlar yordamida o‘lchab olingan suv hajmi ham 3 ga karrali ekanligini ko‘rsatamiz. Masala shartiga ko‘ra dastlab ikkala idish bo‘sh bo‘lgani uchun ular saqlayotgan suyuqlik hajmi nolga teng bo‘lib, 3 ga bo‘linganligi uchun, undan so‘ng unga quyilgan suv hajmi 3 ga karrali bo‘ladi. Masalada qo‘llanilgan mulohazalar zanjirini aynan qaytarib, quyidagi xulosaga kelamiz: agar idishlar hajmi umumiy bo‘luvchiga ega bo‘lsa, u holda bu idishlar bilan aniq o‘lchab olinadigan ixtiyoriy hajmdagi suv ham o‘sha bo‘luvchiga ega bo‘ladi. Demak, berilgan masalaning javobi: mumkin emas. Mazkur masalalar yechimini qurishda muallif analiz usulidan (oxiridan boshiga qaytish) foydalangan va 1-masala yechimiga 8 2-masala yechimiga 4 qadamda erishgan. Biz taklif etgan metodika orqali ham ushbu masalalarni qatiy algoritmga asosan bajarish mumkin, bunda suv jo‘mragi 1-idish, berilgan Ilmiybaza.uz masalalardagi hajmi katta idish 2-idish, hajmi kichigi esa 3-idish sifatida olinsa kifoya. 1-masla yechimiga 10 qadamda erishish mumkin, chunki 7 va 3 sonlarining yig‘indisi 10 ga teng. 3-masala yechimini aniqlab bo‘lmaydi, biz taklif etgam metodikani qo‘llagan holda, ushbu xulosa kelishingiz mumkin, boshqa tomondan idishlar miqdori toq emas. Yuqoridagi kabi masalani N.Guliyev tadqiqotlarida ham uchratamiz, masala quyidagicha berilgan, “11 va 13 litrli idishlar yordamida 13 litrlik idishga 12 litr suv olish mumkinmi?” Belarussiya boshlang‘ich sinf matematika darsliklarida suyuqlik konstruksiyasiga, tenglama tushunchasining pallali tarozida ifodalanishiga doir masalalarni uchratamiz(T.M.Chebatarevskaya, V.V.Nikolayevich). Masala. Birinchi idishda 100 litr benzin bor. 30 va 70 litrli bo‘sh idishlar yordamida qanday qilib 10 hamda 50 litr binzen o‘lchash mumkin? Tadqiqot ishimizda mazkur masala yechimi uchun qo‘llaniladigan qoidalar taklif etganmiz, agarda o‘quvchi bayon etilgan qoidalardan o‘rinli foydalansa masala yechimini topishda qiyinchiliklarga duch kelmaydi. Taklif etilgan qoidada miqdorlarni 10 marta kichrytirib 10, 7 va 3 litr sifatida taqdim etilgan, yuqorida keltirilgan masala uchun ham qoida o‘rinli. Bo‘lajak boshlang‘ich sinf o‘qituvchisi matematik kompetentligining bugungi innovatsiyalarga boy, raqamlashib borayotgan, yuksak pedagoklik mahoratini talab etuvchi ta’lim tizimida munosib pog‘onalarni band etishi, ixtisoslashtirilgan maktablarning 2 – 4-sinf o‘quvchilari uchun tavsiya etiladigan konstruktiv masalalar va ularning yechilish jarayoni bilan yana bir karra mustahkamlanadi desak mubolg‘a bo‘lmaydi. O.P.Boboyev va G.F.Shamsiyevalar tomonidan ixtisoslashtirilgan maktablarning 2 – 4-sinf o‘quvchilari uchun yaratilgan “Matematikadan qo‘shimcha, masala, mashq va misollar” nomli qo‘llnmasida berilgan quyidagi konstruktiv masala bo‘lajak boshlang‘ich sinf o‘qituvchilari uchun notanish bo‘lmasligi lozim. Ilmiybaza.uz Masala. Chelakda 10 litr suv bor, 4 litrli va 3 litrli idishlar yordamida qanday qilib chelakda 5 litr suv qoldirish mumkin? 2016 yilgi 3-sinf matematika darsligida berilgan 809-836-masalalarga o‘xshash bo‘lgan konstruktiv masalalar uchun, umumiy qonuniyat yaratish orqali bo‘lajak boshlang‘ich sinf o‘qituvchilarining matematik kompetentligini yuqori darajada rivojlantirish mumkin. Har bir sinfda kam sonli bo‘lsa-da matematikani o‘rganishga ishtiyoqi kuchli, qobiliyatli o‘quvchilar bor. Mana shunday o‘quvchilar bilan qo‘shimcha mashg‘ulotlar uyushtirib borilmasa, unday o‘quvchilargadars mashg‘ulotlar zerikarli bo‘lib, o‘quvchilardagi qobiliyat so‘nib boradi. Albatta, o‘qituvchi bunday o‘quvchilarga alohida e’tibor berib qo‘shimcha mashg‘ulotlar uyushtirib borsa, yaxshi natijalarga erishadi. Amaldagi darsliklar bunday o‘quvchilar bilan ishlashda sayozlik qilayotganligi sababli o‘qituvchilarning imkoniyatlarini kengaytirish maqsadida tadqiqot ishimizda suyuqlikka oid konstruktiv masalalar yechimiga oson erishishni taminlovchi metodikalar ishlab chiqildi. 1-turdagi umumiy masala. Juft hajmli idishdagi suyuqlikni, hajmlari yig‘indisi berilgan juft hajmli idish hajmiga teng bo‘lgan toq hajmli ikkita bo‘sh idish yordamida teng ikki qismga ajratish masalasi, juft idish hajmi toq idish hajmiga karrali bo‘lmagan hol.(836-masala 1-umumiy masalaning xususiy holi) Ushbu masalaning yechimini aniqlash uchun quyidagi metodikani taklif etamiz. 1-jadval Idishlar Holatar Idishlardagi mavjud suvlar 8 litr suv mavjud bo‘sh idish bo‘sh idish Dastlabki holat Ilmiybaza.uz Tavsiya etilgan metodika. Mazkur metod orqali masala yechimini aniqlash quyidagi bosqichlarda amalga oshiriladi. 1-bosqich.1-bosqichda berilgan masaladagi idishlarni quyidagicha nomlab oling. - Juft hajmli idish – birinchi idish. - Toq hajmli idishlardan hajmi kattasi – ikkinchi idish. - Toq hajmli idishlarning hajmi kichigi – uchunchi idish. 2-bosqich. Masala shartida berilgan suyuqliklarning idishlarda ko‘rinishi 3 xil holatda nomoyon bo‘ladi. Mazkur holatlarga uchunchi va ikkinchi idishlarga nisbatan qarang. 1-holat. 3-idishda suyuqlik mavjud emas. 2-holat. 3-idisha suyuqlik mavjud va 2-ishdaga ushbu suyuqlikni quyish imkoniyati bor. 3-holat. 2-idish suyuqlikka to‘lgan vaqt. 3-bosqich. Ushbu bosqichda quyidagi qoidalarga amal qilgan holda masala yechimini aniqlang. miqdori 1-qadam 8 0 0 1-holat 2-qadam 5 0 3 2-holat 3-qadam 5 3 0 1-holat 4-qadam 2 3 3 2-holat 5-qadam 2 5 1 3-holat 6-qadam 7 0 1 2-holat 7-qadam 7 1 0 1-holat 8-qadam 4 1 3 2-holat yechim 4 4 0 Ilmiybaza.uz 1-qoida. Agarda 3-idish bo‘sh bo‘lsa, 1-idishdan faqat 3-idishga suyuqlikni quying, 2-idishga quyishingiz tafsiya etilmaydi. 2-qoida. 3-idishda suyuqlik mavjud bo‘lsa, undan 2-idishga suyuqlikni quyib oling, agar imkoniyat mavjud bo‘lsa, bund uchunchi idishdagi suyuqlik ikkinchi idishga to‘liq quyilmasligi ham mumkin. 3-qoida. 2-idish suyuqlikka to‘lgan vaziyatda uni birinchi idishg bo‘shatib oling. Yuqorida aytib o‘tilgan qoidalarning har biri bittadan holatga mos keladi, Masala yechimiga erishish uchun birinchi holatda 1-qoidadan, ikkinchi holatda 2- qoidadan, uchunchi holatda 3-qoidadan foydalaning. Tajriba sinov ishi. Quyida 2 ta masalani tavsiya etilgan metod orqali tajribadan o‘tkazib ko‘ramiz. 1-masala. 8 litrli idish suvga to‘lib turibdi, 3 va 5 litrli bo‘sh idishlar yordamida sutni 4 litrdan qilib teng taqsimlang. Yechim. 1-jadvalda masala yechimini aniqlash algoritmi ko‘rsatilgan. Algoritm yuqorida takidlab o‘tilgan qonuniyat orqali konstruksiyalanadi, chunki masala sharti, juft hajmli idishdagi suyuqlikni, hajmlari yig‘indisi berilgan juft hajmli idish hajmiga teng bo‘lgan toq hajmli ikkita bo‘sh idish yordamida teng ikki qismga ajratishdan iborat. 1-jadval asosida masala yechimini konstruksiyalash algoritmi. 1-qadam. 1-holat kuzatilmoqda, demak 1-qoidadan foydalanamiz. 8 litrlik idishdagi suvdan 3 litrlikka quyib olamiz, bunda 8 litrlikda 5 litr suv qoladi. 2-qadam. (2-holat, 2-qoidani qo‘llaymiz). 3 litrlikdagi suvni 5 litrlikka quyib olamiz, bunda 3 litrlikda suv qolmaydi. 3-qadam. (1-holat, 1-qoidani qo‘llaymiz). 8 litrlikda qolgan 5 litr suvdan 3 litrini bo‘shab qolgan 3 litrlikka quyamiz, bu jarayonda 8 litrlik idishda 2 litr suv qoladi. 4-qadam. (2-holat, 2-qoidadan foydalanamiz). 5 litrlik idishda 3 litr suv mavjud bo‘lgani uchun, 3 litrlik idishdagi suvdan 2 litrini 5 litrlikka quyib bu idishni to‘ldirib olamiz. Ushbu holatda 3 litrlik idishda 1 litr suv qoladi. Ilmiybaza.uz 5-qadam. (3-holat, 3-qoidadan foydalanamiz). 5 litrlik idishdagi suvni 8 litrlik idishga quyib olamiz, bunda 8 litrlik idishda 7 litr suv hosil bo‘lib, 5 litrlik idishda esa suv qolmaydi. 6-qadam. (2-holat, 2-qoidadan foydalanamiz). 3 litrlik idishda mavjud bo‘lgan 1 litr suvni 5 litrlikka quyib olamiz. 7-qadam. (1-holat, 1-qoida). 8 litrlikdagi suvdan 3 litrlikka quyib olamiz, bunda 3 litrlik suvga to‘lib, 8 litrlikda 4 litr suv qoladi. 8-qadam. (2-holat, 2-qoida). Ushbu qadamda 3 litrlik idishdagi mavjud suvni 5 litrlikka quyamiz va 5 litrlik idishda ham 4 litr suv hosil bo‘ladi. Tavsiya etilgan metod orqali, masala shartida berilgan 8 litrlik idishda berilgan suvni 4 litrdan qilib teng ikki qismga taqsimladik va natijada yechimga erishildi. 2-masala. 12 litrli idishdagi 12 litr sutni 7 va 5 litrli idishlardan foydalanib qanday qilib teng ikkiga bo‘lish mumkin? Yechim. 2-jadvalda masala yechimini aniqlash algoritmi ko‘rsatilgan. Masala yechimining nazariy asosi. 2-jadval asosida Ilmiybaza.uz 1-qadam. (1-holat, 1-qoida). 5 litrlik bo‘sh idish 12 litrlik idishdagi sut yordamida to‘ldirilsa, 12 litrlikda 7 litr sut qoladi. 2-qadam. (2-holat, 2-qoida). 5 lirlik idishdagi hamma sutni 7 litrlikka quyib olamiz. 3-qadam. (1-holat, 1-qoida). 5 litrlik bo‘sh idish 12 litrlik idishdagi sut yordamida ikkinchi bor to‘ldirilsa, 12 litrlikda 2 litr sut qoladi. 2-jadval Idishlar Holatlar Idishlardagi mavjud suvlar miqdori 12 litrlik idishda 12 litr sut mavjud 7 litrlik bo‘sh idish 5 litrlik bo‘sh idish Dastlabki holat 1-qadam 12 0 0 1-holat 2-qadam 7 0 5 2-holat 3-qadam 7 5 0 1-holat 4-qadam 2 5 5 2-holat 5-qadam 2 7 3 3-holat 6-qadam 9 0 3 2-holat 7-qadam 9 3 0 1-holat 8-qadam 4 3 5 2-holat 9-qadam 4 7 1 3-holat 10-qadam 11 0 1 2-holat 11-qadam 11 1 0 1-holat 12-qadam 6 1 5 2-holat yechim 6 6 0 Ilmiybaza.uz 4-qadam. (2-holat, 2-qoida). 7 litrlik idish, 5 litrlik idishdagi sut yordamida to‘ldirilsa, 5 litrlikda 3 litr sut qoladi. 5-qadam. (3-holat, 3-qoida). 7 litrlikdagi mavjud sutni to‘liq 12 litrlikka quyib olamiz, bu jarayonda 12 litrlik idishda 9 litr sut hosil bo‘ladi. 6-qadam. (2-holat, 2-qoida). 5 litrlik idishdagi 3 litr sutning hammasini 7 litrlikka quyib olamiz. 7-qadam. (1-holat, 1-qoida). 5 litrlik bo‘sh idish 12 litrlik idishdagi sut yordamida to‘ldirilsa, 12 litrlikda 4 litr sut qoladi. 8-qadam. (2-holat, 2-qoida). Agar 5 litrlikdagi sutdan 7 litrlikka quysak 7 litrlik idish sutga to‘lib, 5 litrlik idishda 1 litr sut qoladi. 9-qadam. (3-holat, 3-qoida). Ushbu qadamda 7 litrlik idishdagi sutni 12 litrlikka quyib olamiz, natijada 12 litrlik idishda 11 litr sut hosil bo‘ladi. 10-qadam. (2-holat, 2-qoida). 5 litrlikda mavjud bo‘lgan 1 litr sutni 7 litrlikka quyib olamiz. 11-qadam. (1-holat, 1-qoida). 5 litrlik bo‘sh idishni 12 litrlik idishdagi sut yordamida to‘ldiramiz, bunda 12 litrlikda 6 litr sut qoladi. 12-qadam. (2-holat, 2-qoida). 5 litrlik idishdagi sutni to‘liq 7 litrlik idishga quyib olsak, 7 litrlik idishda ham 6 litr sut hosil bo‘ladi. Masala shartiga ko‘ra 12 litr sut teng ikki qismga bo‘linish kerak edi. 2-jadval algoritmi asosida bunga erishdik. Bu metod mazkur masala yechimini aniqlash jarayonida ham o‘zini oqladi. Mitti idishning bolajonlarga ko‘magi. Qoidani eslab qolish metodikasi. Boshlang‘ich sinf o‘quvchilariga she’rning birinchi to‘rtligi 1-qoidani, ikkinchi to‘rtligi 2-qoidani, uchunchi to‘rtligi 3-qoidani eslab qolishlarida ko‘maklashadi. Bu yerda mitti idish – eng kichik toq hajmli idish, katta og‘a sifatida – eng katta hajli idshni, yosh va kichik og‘a sifatida – toq hajmli idishlardan kattasini tushunamiz. Mittijonning chanqashi ushbu idishda suv umuman qolmaganligi, kichik og‘aning suvga to‘yishi ikkinchi idishning suvga to‘lishini, yosh og‘amdan suvni qizg‘anmiyman deyilgan jumla uchunchi idishdan ikkinchi idishga suv quyishimiz mumkinligini anglatadi. Ilmiybaza.uz “Mitti idish” Salom. Salom bolajon! Chanqadim men mittijon Suv bering qaynog‘idan Katta og‘am bulog‘idan Men ham sizdek mehribonman Yosh og‘amni o‘ylarman Chanqadim uka desa Bor suvumni yo‘llarman Suvga to‘ysa kichik og‘am 3-jadval Idishlar Holatlar Idishlardagi mavjud suvlar miqdori 10 litrlik idishda 10 litr suv mavjud 10 litrlik idishda 10 litr suv mavjud 5 litrlik bo‘sh idish 4 litrlik bo‘sh idish Dastlabki holat 1-qadam 10 10 0 0 1-holat 2-qadam 10 6 0 4 2-holat 3-qadam 10 6 4 0 1-holat 4-qadam 10 2 4 4 2-holat 5-qadam 10 2 5 3 3-holat 6-qadam 10 7 0 3 2-holat 7-qadam 10 7 3 0 1-holat 8-qadam 10 3 3 4 2-holat 9-qadam 10 3 5 2 3-holat 10-qadam 10 8 0 2 2-holat 11-qadam 10 8 2 0 1-holat Ilmiybaza.uz Undan suv so‘rayvering Idishidagi hamma suvni Katta og‘amga olib bering. 2-turdagi umumiy masala. Bizga hajmli 1-idish, hajmli 2- idish, hajmli 3-idish, hajmli 4-idishlar berilgan bo‘lib, birinchi va ikkinchi idishlar suvga to‘lgan holatda uchunchi hamda to‘rtinchi idishlarga litrdan qilib suyuqlikni hosil qilish so‘ralganda, suyuqlikka oid konstruktiv masalalar uchun tavsiya etilgan metodikadan foydalanish mumkin. Bunda 1-idish dastlabki ta qadam uchun o‘zgarishsiz qolib, so‘ngi ikki qadamda undan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Masala. 6 litrlik ikki idish suvga to‘la bo‘lsa, 3 va 2 litrli bo‘sh idishlar yordamida ushbu 3 va 2 litrli idishlarda 1 litrdan suv hosil qiling? Bu yerda bo‘lgani uchun, , 6, , idishlar hajmi mos ravishda 6, 6, 3 va 2 ga teng. Qoidaga to‘liq mos keladi demak, 3 v 2 litrli idishlarda 1 litrdan suv hosil qilish mumkin. Bunda yechimga ta qadamda erishiladi. Masala. 10 litrlik ikki idish suvga to‘la bo‘lsa, 5 va 4 litrli bo‘sh idishlar yordamida ushbu 5 va 4 litrli idishlarda 2 litrdan suv hosil qiling? Bu yerda bo‘lgani uchun, , 10, , idishlar hajmi mos ravishda 10, 10, 5 va 4 ga teng. Qoidaga to‘liq mos keladi demak, 5 v 4 litrli idishlarda 2 litrdan suv hosil qilish mumkin. Bunda yechimga ta qadamda erishiladi. 12-qadam 6 8 2 4 1-idish jaroyonga qo‘shildi yechim 6 10 2 2 Ilmiybaza.uz Masala. 14 litrlik ikki idish suvga to‘la bo‘lsa, 7 va 6 litrli bo‘sh idishlar yordamida ushbu 7 va 6 litrli idishlarda 3 litrdan suv hosil qiling? Bu yerda bo‘lgani uchun, , 14, , idishlar hajmi mos ravishda 14, 14, 7 va 6 ga teng. Qoidaga to‘liq mos keladi demak, 7 v 6 litrli idishlarda 3 litrdan suv hosil qilish mumkin. Bunda yechimga ta qadamda erishiladi. Tajriba uchun ushbu masalalardan birinining yechimi bilan tanishamiz. 3-masala. 10 litrlik ikki bidon suvga to‘lib turubdi, 5 va 4 litrli bo‘sh idishlarga bidonlardan qanday qilib 2 litrdan suv quyish mumkin? Yechim. 3-jadvalda masala yechimini aniqlash algoritmi ko‘rsatilgan. Masala yechimining nazariy asosi. 3-jadval asosida 1-qadam. (1-holat, 1-qoida). 4 litrlik bo‘sh idish 10 litrlik 2-idishdagi suv yordamida to‘ldirilsa, 10 litrilkda 6 litr suv qoladi. 2-qadam. (2-holat, 2-qoida). 4 lirlik idishdagi hamma suvni 5 litrlikka quyib olamiz. 3-qadam. (1-holat, 1-qoida). 4 litrlik bo‘sh idish 10 litrlik 2-idishdagi suv yordamida ikkinchi bor to‘ldirilsa, 10 litrlikda 2 litr suv qoladi. 4-qadam. (2-holat, 2-qoida). 5 litrlik idish, 4 litrlik idishdagi suv yordamida to‘ldirilsa, 4 litrlikda 3 litr suv qoladi. 5-qadam. (3-holat, 3-qoida). 5 litrlikdagi mavjud suvni to‘liq 10 litrlik 2- idishga quyib olamiz, bu jarayonda 10 litrlik idishda 7 litr suv hosil bo‘ladi. 6-qadam. (2-holat, 2-qoida). 4 litrlik idishdagi 3 litr suvning hammasini 5 litrlikka quyib olamiz. 7-qadam. (1-holat, 1-qoida). 4 litrlik bo‘sh idish 10 litrlik 2-idishdagi suv yordamida to‘ldirilsa, 10 litrlikda 3 litr suv qoladi. 8-qadam. (2-holat, 2-qoida). Agar 4 litrlikdagi suvdan 5 litrlikka quysak 5 litrlik idish suvga to‘lib, 4 litrlik idishda 2 litr suv qoladi. 9-qadam. (3-holat, 3-qoida). Ushbu qadamda 5 litrlik idishdagi suvni 10 litrlik 2-idishga quyib olamiz, natijada 10 litrlik idishda 8 litr suv hosil bo‘ladi. Ilmiybaza.uz 10-qadam. (2-holat, 2-qoida). 4 litrlikda mavjud bo‘lgan 2 litr suvni 5 litrlikka quyib olamiz. 11-qadam. (Qoida bo‘yicha 1-idishdan foydalanamiz, 3-idish o‘zgarishsiz qoldirilib, qolgan idishlar mos ravishda 1-2-3-deb ataldi. Demak 1-holat, 1-qoida). 4 litrlik bo‘sh idishni 10 litrlik 1-idishdagi suv yordamida to‘ldiramiz, bunda 10 litrlikda 6 litr suv qoladi. 12-qadam. (2-holat, 2-qoida). 4 litrlik idishdagi suvni 10 litrlik 2-idishga quyganimizda, 10 litrlik 2-idish to‘lib, 4 litrlik idishda 2 litr suv hosil bo‘ladi. Masala shartiga ko‘ra 5 va 4 litrlik idishlarda 2 litrdan suv hosil qilinishi kerak edi, bizning yechim ham aynan shuni ko‘rsatmoqda. Demak, 2-turdagi umumiy masalalar uchun ham suyuqlikka oid konstruktiv masalalar uchun tavsiya etilgan metodika o‘z samarasini berdi. 1-natija. 1-umimiy masala shartida berilgan juft hajmli ( ) idish hajmining miqdori eng kichik toq hajmli idish hajmi ( ) miqdoriga karrali bo‘lsa, u holda yechim, k ta qadamda aniqlanadi. Ushbu jarayonda ham tavsiya etilgan medodika qo‘llanilib, faqat birinchi va ikkinchi qoidalardan foydalaniladi. 2-natija. Juft hajmli idishdagi suyuqlikni(idish suyuqlikka to‘la), hajmlari yig‘indisi berilgan juft hajmli idish hajmiga teng bo‘lgan toq hajmli ikkita bo‘sh idish yordamida teng ikki qismga ajratish mumkin va bu jarayon aytib o‘tilgan juft hajmli idish miqdorining son qiymatiga teng bo‘lgan qadamda aniqlanadi. Tadqiqotda bayon etilgan, birinchi va ikkinchi masalalar yechimlarining aniqlanish algoritmiga e’tibor bering, haqiqtdan ham 1-masalaning yechimi 8 qadamda, 2-masalaning yechimi esa 12 qadamda aniqlangan. 3-natija. 2-turdagi kabi umumiy masalalar uchun yechimga ta qadamda erishiladi. 4-natija. 1-turdagi umumiy masalani yechish qoidasiga tayanib, quyidagicha shaklda berilgan masalalarni ham bajarish mumkin, bunda hajmi kichik bo‘lgan juft sonning ikkilanganligi miqdoricha qadamda yechimga erishiladi. Ilmiybaza.uz 1.1-turdagi umumiy masala. litrlik idish suyuqlikka to‘la bo‘lsa, litrli hamda litrli bo‘sh idishlar yordamida ushbu idishda litr suyuqlik hosil qiling? Ushbu masalada agar 1-turdagi umumiy masalani yechish qoidalariga amal qilinsa yechimga qadamda erishiladi. Eslatma. Idishlarni nomerlashni har ikki masalada idishlar miqdorining kamayish tartibiga qarab, birinchi, ikkinchi va uchunchi idish deb nomlang. Masala. Chelakda 10 litr suv bor, 4 litrli va 3 litrli idishlar yordamida qanday qilib chelakda 5 litr suv qoldirish mumkin? Masala yechimi 4-jadval asosida berilgan bo‘lib, 8 qadamda yechimga erishilgan, bu esa 4( ) ning ikkilanganligini anglatadi. 4-jadval Idishlar 10 litrlik (1-idish) 4 litrlik (2-idish) 3 litrlik (3-idish) Yechim sixemasi Idishlardagi mavjud suyuqliklar miqdori litrlik idishda litr suyuqlik mavjud litrlik bo‘sh idish litrlik bo‘sh idish 1-qadam 10 0 0 1-holat 2-qadam 7 0 3 2-holat 3-qadam 7 3 0 1-holat 4-qadam 4 3 3 2-holat 5-qadam 4 4 2 3-holat 6-qadam 8 0 2 2-holat 7-qadam 8 2 0 1-holat 8-qadam 5 2 3 2-holat yechim 5 5 Ilmiybaza.uz 1.2-turdagi umumiy masala. litrlik idish suyuqlikka to‘la bo‘lsa, litrli hamda litrli bo‘sh idishlar yordamida ushbu idishda litr suyuqlik hosil qiling? Ushbu masalada ham 1-turdagi umumiy masalani yechish qoidalariga amal qilinsa yechimga qadamda erishiladi. Tarozi toshlariga doir nostandart masalalar. Bu turdagi masalalarni yechish asosida u yoki bu faktni oʻrnatish (haqiqiy tangalar ichidan qalbaki tangani aniqlash, massasiga koʻra yuklarni tartiblash va boshqalar) toshsiz, pallali tarozida amalga oshiriladi. Koʻp hollarda masala shartida tortilayotgan ob’yektlar sifatida tangalar ishlatilib, talab etilayotgan faktni koʻrsatilgan miqdorda tortishlar bajarib aniqlash, yoki talab etilayotgan faktni oʻrnatish uchun eng kam tortishlar sonini aniqlash talab etiladi. Tangalardan qalbakisini topishga doir masalalar shartida qalbaki tanga massasi boshqa tangalar massasidan yengil yoki ogʻir ekanligi koʻrsatilgan boʻlsa, uni yechishda tortishlar soni kamayadi. 1-masala. Uchta tanganing bittasa qalbaki. Uning massasi boshqa tangalar massasidan yengil. Toshsiz, pallali tarozida bir marta tortish orqali qalbaki tangani qanday aniqlash mumkin? Yechish. Tarozining har bir pallasiga bittadan tanga qoʻyamiz. Quyidagi ikki hol boʻlishi mumkin: 1– hol. Tarozining har bir pallasiga qoʻyilgan tangalar bir xil massaga ega. Bu holda ularning ikkalasi haqiqiy boʻlib, chetga olib qoʻyilgan tanga qalbaki boʻladi. 2– hol. Tarozining qaysi bir pallasiga qoʻyilgan tanganing massasi yengil boʻlsa, u qalbaki boʻladi. 2-masala. 9 ta tanganing bittasi qalbaki. Uning massasi boshqa tangalar massasidan yengil. Toshsiz pallali tarozida ikki marta tortish orqali qalbaki tangani qanday aniqlash mumkin? Ilmiybaza.uz Yechish: 9 ta tangani 3 ta dan qilib, 3 guruxga ajratamiz. Birinchi tortishda 1- va 2- guruhlardagi 3 tadan tangalarni tarozining har bir pallasiga qoʻyamiz. Bunda quyidagi ikki hol boʻlishi mumkin : 1– hol. Tarozi pallasiga qoʻyilgan tangalar bir xil massaga ega. Bu holda ikkala guruhdagi tangalar haqiqiy boʻlib, qalbaki tanga 3 – guruhda boʻladi. 2– hol. Agar ular bir xil massaga ega boʻlmasa, bu holda qaysi guruhdagi tangalar massasi yengil boʻlsa, qalbaki tanga oʻsha guruhga tegishli boʻladi. Ikkala holda ham ikkinchi tortishda qalbaki tangani aniqlash yuqoridagi 1- masala yechimiga keltiriladi. 3-masala. 81 ta tanganining bittasi qalbaki. Uning massasi boshqa tangalar massasidan yengil. Toshsiz, pallali tarozida toʻrt marta tortish orqali qalbaki tangani qanday aniqlash mumkin? Yechish. 81 ta tangani 27 tadan qilib, 3 guruhga ajratamiz. Birinchi tortishda tarozining har bir pallasiga 1- va 2-guruhlardagi 27 tadan tangalarni qoyamiz. Bunda quyidagi ikki hol boʻlishi mumkin: 1– hol. Tarozi pallasiga qoʻyilgan tangalar bir xil massaga ega. Bu holda ikkala guruhdagi tangalar haqiqiy boʻlib, qalbaki tanga 3- guruhda boʻladi. 2– hol. Agar ular bir xil massaga ega boʻlmasa, bu holda qaysi guruhdagi tangalar massasi yengil boʻlsa, qalbaki tanga oʻsha guruhga tegishli boʻladi. Ikkala holda ham ikkinchi tortishni amalga oshirish uchun qalbaki tangani oʻzida saqlashi gumon qilinayotgan guruhdagi 27 tangani 9 tadan qilib, 3 ta guruhga boʻlamiz. Soʻng tarozining har bir pallasiga 1- va 2-guruhlardagi 9 tadan tangalarni qoʻyamiz. Bunda ham quyidagi ikki hol boʻlishi mumkin. 1– hol. Tarozi pallasiga qoʻyilgan tangalar bir xil massaga ega. Bu holda ikkala guruhdagi tangalar haqiqiy boʻlib, qalbaki tanga 3- guruhda boʻladi. 2– hol. Agar ular bir xil massaga ega boʻlmasa, bu holda qaysi guruhdagi tangalar massasi yengil boʻlsa, qalbaki tanga oʻsha guruhga tegishli boʻladi. Ikkala holda ham uchinchi tortishni amalga oshirish uchun qalbaki tangani oʻzida saqlashi gumon qilinayotgan guruhdagi 9 ta tangani 3 tadan qilib 3 ta guruhga boʻlamiz va qalbaki tangani aniqlash yuqoridagi 2-masala yechimiga keltiriladi. Yechimiga koʻra buni amalga oshirish uchun 2 marta tortish Ilmiybaza.uz bajarilishi zarur. Demak, biz 4 marta tortish orqali 81 ta tangadan qalbaki (agar uning massasi boshqa tangalar massasidek yengil boʻlsa) tangani aniqlash mumkinligini koʻrsatdik. Yuqoridagi masalalardan 3 soniga karrali boʻlgan sondagi tangalar ichidan qalbakisini aniqlash koʻrib oʻtildi, lekin tangalar soni ixtiyoriy boʻlganda ham ularni yechish xuddi shunday usulda olib boriladi. 4-masala. 8 ta tanganing bittasi qalbaki. Uning massasi boshqa tangalar masssasidan ogʻir. Toshsiz, pallali tarozida ikki marta tortish orqali qalbaki tangani qanday aniqlash mumkin? Yechish. 8 ta tangani 3 tadan qilib 2 ta guruhga ajratsak, u holda 3-guruhda 2 ta tanga boʻladi. Birinchi tortishda 1- va 2- guruhlardagi 3 tadan tangalarni tarozining har bir pallasiga qoʻyamiz. Bunda quyidagi ikki hol boʻlishi mumkin: 1– hol. Tarozi pallasiga qoʻyilgan tangalar bir xil massaga ega. Bu holda ikkala guruhdagi tangalar haqiqiy boʻlib, qalbaki tanga 3- guruhda boʻladi. U holda ikkinchi tortishda 3-guruhdagi 2 ta tangani tarozining har bir pallasiga bittadan qoʻyamiz. Tarozining qaysi bir pallasiga qoʻyilgan tanganing massasi ogʻir boʻlsa, u qalbaki boʻladi. 2– hol. Agar ular bir xil massaga ega boʻlmasa, bu holda qaysi guruhdagi tangalar massasi ogʻir boʻlsa, qalbaki tanga oʻsha guruhga tegishli boʻladi va qalbaki tangani aniqlash, yuqoridagi 1-masala yechimiga keltiriladi. Uning yechimiga koʻra buni amalga oshirish uchun 1 marta tortish bajarilishi zarur. Demak, biz 2 marta tortish orqali qalbaki tangani aniqlash mumkinligini koʻrsatdik. Yuqorida koʻrib oʻtilgan massalarda qalbaki tangalarni aniqlashda uning massasi boshqa tangalar massasidan yengil(yoki ogʻir) ekanligi koʻrsatildi. Lekin agar masala shartida qalbaki tanganing massasi boshqa tangalar massasidan yengil yoki ogʻir ekanligi koʻrsatilmasdan, faqat massasi farqlanishi haqida soʻz yuritilsa, u holda bunday masalalarni yechish jarayoni murakkablashadi. 5-masala. Uchta tangadan bittasi qalbaki va u boshqalardan massasi bilan farqlanadi. Ikki marta toshsiz, pallali tarozida tortish orqali qalbaki tangani qanday aniqlash mumkin? Ilmiybaza.uz Yechish. Tangalarni 1, 2 va 3 sonlari bilan nomerlaymiz. 1) 1 va 2 tangalarni tortamiz; 2) Agar ularning massasi teng boʻlsa, u holda ikkala tanga haqiqiy boʻlib, 3tanga qalbaki boʻladi; 3) Agar ularning massasi teng boʻlmasa, u holda ulardan biri qalbaki boʻlib, uchinchi tanga esa haqiqiy boʻladi; 4) Qalbakiligi gumon qilinayotgan tangalarning biri bilan haqiqiy tangani tortamiz. Masalan, 2 va 3 tangalarni tortamiz. 5) Agar ularning massasi teng boʻlsa, u holda ikkala tanga haqiqiy boʻlib, birinchi tanga qalbaki boʻladi, aks holda esa 2 tanga qalbaki boʻladi. Bir xil maxrajli kasrlarni suv va tarozi yordamida taqqoslash. Birxil maxrajli va kasrlarni taqqoslash uchun 2-rasmdagi kabi birinchi idishga 4 birlik, ikkinchi idishga 3 birlik suv quyamiz. Pallali tarozining pallalarida ham idishlar boʻlganligi sababli yuqori idishlardagi suv ochib yuborilsa, 6-rasmda koʻrganingizdek tarozining chap pallasi ogʻiriroq ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bu esa kasr kasrdan katta ekanligini bildiradi. Ushbu jarayon katta-kichik tushunchasini, ogʻir-yengil tushunchasi orqali bayon etishimizga yordam beradi. Noma’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi ba’zida tenglama tushunchasini bayon etish uchun pallali tarozidan foydalaniladi. Tenglama tushunchasini biz uchun begona boʻlmagan tarozi tushunchasi yordamida tasavvur etish mumkin. Tarozi (forscha – vazn, oʻlchash asbobi). 1) tushunchasi, hozircha pallalariga hech narsa qoʻyilmagan tarozini eslatadi. Chunki tarozining chap pallasida ham oʻng pallasida ham biror nima yoʻq. 2) tushunchasi koʻpchillik uchun matematikaning bu qonuniyatlarining aynan nimani anglatishi qiziq. Buni pallali tarozi yordamida atroflicha yoritish imkoni bor. Tenglikning chap qismida turgan 7 pallali tarozining chap pallasida 1-rasm 2-rasm Ilmiybaza.uz joylashgan 7 kg olmani, oʻng qismida joylashgan 7 esa tarozining oʻng qismida joylashgan 7 kg shakarni anglatsin. Demak tushunchasi. Nomlanishi har xil boʻlgan buyumlarning miqdorlarining tengligini koʻrsatmoqda. tushunchasini faqat tarozi yordamida koʻrsatdik, bu holat hayotimizning boshqa jabhalarida ham qoʻllanilishi mumkin. 3. Mantiqiy tafakkurni rivojlantirish, mustaqillik, tashabbuskorlik, ijodkorlikni shakllantirish zamonaviy pedagogik jarayonning asosiy vazifalaridan biridir. Bu jarayonning muvaffaqiyati kognitiv qiziqishlarning shakllanishiga bog'liq. Mantiqni rivojlantirishda matematika alohida o'rin tutadi. Aynan matematika yuqori darajadagi mavhumlikni o'z ichiga olgan nazariy fan hisoblanadi. Matematika darslari rivojlantiruvchi ta'sirga ega bo'lib, mantiqiy fikrlashni rivojlantirish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratadi. Matematikaning boshlang'ich kursidagi ko'p vaqt masalalarni hal qilishga ajratiladi. Masalalarni turlicha tasniflash mumkin. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, boshlang'ich ta'limda o'quvchilarda mantiqni rivojlantirishning eng samarali usuli mantiqiy masalalarni yechishdir. Ushbu dasturning matematika darsliklarida mantiqiy topshiriqlar qo'shimcha qismga, ya'ni "qiyinlashgan masalalar"ga kiritilgan. Birinchi sinfda mantiqiy masalalar mulohaza yuritish orqali yechiladi. Ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi sinflarda masalalar birinchisiga qaraganda ancha xilma-xil bo'lib, turlarga bo'linadi: suyuqlikka doir masalalar, vaqtga doir masala, ob'ektlarni guruhlarga bo'lish. Boshlang‘ich ta’lim aqliy faoliyat usullarini shakllantirish uchun asos yaratadi: o‘quvchilar ob’ektlarni tahlil qilish, solishtirish, tasniflashni, sabab-oqibat munosabatlarini, qonuniyatlarni o‘rnatishni, fikrlashning mantiqiy zanjirlarini qurishni o‘rganadilar. Matematikani o'rganish orqali ular ma'lum umumlashtirilgan bilimlarga va harakat usullariga ega bo'ladilar. Bilishning universal matematik usullari dunyoni yaxlit idrok etishga yordam beradi, uning individual jarayonlari va Ilmiybaza.uz hodisalarining modellarini yaratishga imkon beradi, shuningdek, universal ta'lim faoliyatini shakllantirish uchun asosdir. Bugungi kunga kelib, mantiqiy masalani yechishga yordam beradigan bir nechta usullar mavjud, xususan: • mulohaza yuritish; • tanlash; • taxminlar; • diagrammalar va jadvallar; • • grafik usul; • birlashgan usul. Ko'pincha mantiqiy masalalarda faktlar shunchalik ko'pki, ularning barchasini xotirada saqlash qiyin. Suning uchun ular diagrammalar, jadvallar, chizmalar va chizmalar tuzishga murojaat qilishadi. Bunday masalalar yechimini izlashda o`quvchilarning mustaqil ishini uyushtirish uchun o`qituvchi doskada quyidagi ikkita sxemani chizib: so`ngra o`quvchilardan ulardan qay biri quyidagi masala: O`quvchilar to`p uloqtirishda musobaqalashdi. Agar Botir to`pni Karimdan uzoqroqga, lekin Ahmaddan yaqinroqga uloqtirgan bo`lsa, bolalardan qay biri to`pni eng uzoqga uloqtirgan?” sharti asosida qurilganligini aniqlashni so`raydi. Barcha xohlovchi o`quvchilar doskaga chiqib, o`zlarining fikriga ko`ra masala shartiga mos keluvchi sxemani belgilashadi: ba’zi o`quvchilar 1-sxemani, ba’zilari esa 2-sxemani belgilashadi. O`qituvchi bolalarga o`zlari tanlagan sxemada quyidagi ma’lumotlarni belgilashni so`raydi: Ahmad to`pni 16 metrga, Karim- 11metrga, Botir-13metrga uloqtirgan. O`quvchilar vazifani doskada bajaradilar va 1-sxemani belgilagan o`quvchilar o`zlari yo`l qo`ygan xatoni tushunib yetadilar. 1-masala. Akrom do`stlarini tug`ilgan kuniga taklif etdi. Mehmonlardan Laziz Mahmuddan oldin, Vali Zokirdan keyin, Mahmud Zokirdan oldin, Salim Validan keyin tabriklagani kelishdi. Mehmonlar qanday tartibda kelishgan? Yechish: Masala modelini quramiz. Bu holda to`g`ri chiziq “oldin kelish chizig`ini” ifodalaydi. O`quvchilar bilan bolalarni to`g`ri chiziqda ularning bosh harflari Ilmiybaza.uz ko`rsatilgan nuqtalar bilan, hamda ulardan oldin kelganini to`g`ri chiziqda chaproqda, keyin kelganni esa to`g`ri chiziqda o`ngroqda belgilashga kelishib olamiz. So`ngra masalaning har bir shartini to`g`ri chiziqda belgilaymiz: - Laziz Mahmuddan oldin kelgan, demak L nuqta M nuqtadan chapda joylashadi. - Mahmud Zokirdan oldin kelgan, demak M nuqta Z nuqtadan chapda joylashadi. - Agar Vali Zokirdan keyin kelgan bo`lsa, u holda Zokir Validan oldin kelgan bo`ladi, ya’ni V nuqta Z nuqtadan chapda joylashadi. - Agar Salim Validan keyin kelgan bo`lsa, u holda Vali Salimdan oldin kelgan bo`ladi, ya’ni V nuqta S nuqtadan chapda joylashadi. To`g`ri chiziqda nuqtalarning joylashishidan bolalar quyidagi: Laziz, Mahmud, Zokir, Vali, Salim ketma-ketligida mehmondorchilikka kelishganligini aniqlaymiz. 2-masala. Sinfda o`tkazilgan shashka musobaqasida Ahmad, Botir, Vali va Sohib ishtirok etdi. Ahmad birinchi o`rinni ham, oxirgi o`rinni ham egallamaganligi, Sohib ikkinchi o`rinni egallaganligi, Botir esa birinchi o`rinni egallamaganligi ma’lum bo`lsa, ishtirokchi bolalarning har biri qaysi o`rinni egallagan? Yechish. a) Bu turdagi masalalarni yechishning dastlabki bosqichida o`quvchilarda xulosalar zanjirini qurish ko`nikmalarini tarkib toptirishning quyidagi uslubini qo`llash samaralidir: o`qituvchi tomonidan masala shartida berilgan bog`lanishlar alohida-alohida xulosalar zanjiri sifatida ifodalangan kartochkalar tuzilib, har bir o`quvchiga tarqatiladi va ular ochiq qoldirilgan joylarni to`ldiradilar. Masalan, yuqoridagi masalani yechishda o`qituvchi quyidagi mulohazalar zanjiri ko`rsatilgan kartochkalarni: “Ahmad birinchi o`rinni ham, oxirgi o`rinni ham egallamagan, demak, u ----- o`rinni, yoki - ---- o`rinni egallashi mumkin. Sohib ----- o`rinni egallagan. U holda Ahmad ----- o`rinni egallagan. Botir birinchi o`rinni egallamagan bo`lsa, u holda u ----- o`rinni Ilmiybaza.uz egallagan. Demak Vali -----o`rinni egallagan” o`quvchilarga tarqatib, ochiq qoldirilgan joylar ular tomonidan to`ldirilgach doskada javoblarni muhokama qilish maqsadga muvofiqdir. Bu topshiriqlar o`quvchilarda masalalarni xulosalar zanjiri qurish yo`li bilan yechish ko`nikmalarini tarkib toptirishga ko`maklashadi, ularda mulohaza yuritishning faqat tarkibi ko`rsatilgan bo`lib, xulosalar esa o`quvchilar tomonidan mustaqil keltirib chiqariladi. b) O`quvchilarda to`plam elementlari o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslikni o`rnatishga doir mantiqiy masalalarni yechishda xulosalar zanjirini qurish ko`nikmalari tarkib toptirilgach, ular bilan bu masalalarni graflar yordamida yechishga o`tish mumkin. 3-masala.Uch dugona –Aziza, Iroda va Shaxlo turli rangdagi: ko’k, sariq va oq ko’ylaklar kiyib olishgan. Azizaning ko’ylagi oq emas, Irodaniki esa oq ham, sariq ham emas,aytingchi har bir qizchaning ko’ylaklari qanaqa rangda? 4-masala.Bolada bir nеchta nok bor edi. U noklarni ikki opasiga bo’lib bеrishga qaror qildi. U kichik opasiga noklarning yarmini va yana bitta nok bеrdi. Katta opasiga esa qolgan 2 tasini bеrdi. Bolada nеchta nok bor edi? 5-masala.Onasining yoshi qizinikidan 3 marta katta, ular birgalikda 48 yoshda. Onasi nеcha yoshda va qizi nеcha yoshda? 6-masala. Inomjon ukasi Alijondan 4 yoshga katta va opasi Ma’muradan 5 yosh kichik. Ularning uchalasining yoshini qo’shsak, 31 yosh bo’ladi. Inomjon nеcha yoshda? Matematikadan rasmlar bilan berilgan mantiqiy masalalar: 6-masala. Rasmni ko'rib chiqing. Unda nechta raqamni ko'ryapsiz? Javob: Rasmda 10 ta raqam tasvirlangan. Ilmiybaza.uz 2. Ushbu turdagi masalalarni yechish uchun hech qanday ko'nikma, bilim yoki qobiliyatni talab qilinmaydi. Buning uchun bolaning zukkoligi va tasavvuri kerak bo'ladi. Ushbu mavzuga doir buyuk matematiklarning avlodlar uchun qoldirgan og'izdan og'izga o'tib kelgan topshiriqlari mavjud bo’lib, ular o'tgan asrlar adabiyotidan juda mashhur mantiqiy va boshqotirma masalalarni o'z ichiga oladi. Idrok qilish qulayligi uchun ularning ba'zilari bugungi kun talabalari asosida tushunarliroq tilda qayta tuzilgan. Har bir masalani yechishda o'quvchiga yordam berish, uni o'ylashga undash, ozgina yo’nalish berish, lekin har holda, masalaning yechimini to'liq aytmaslikka harakat qilish kerak. Asosiysi, bola mustaqil ravishda kamida bitta yoki ikkita masalani hal qilishi mumkin. O’quvchiga u yoki bu masalani qanday yechishni aytishdan ko'ra, mustaqil yechish ko’proq foyda bo'ladi. Shuningdek, o’quvchiga shoshilmaslikni maslahat berish zarur. Boshqotirma masalalar geometrik va arifmetik ko’rinishda bo’ladi. Masalan, "Shakllarni qismlarga ajratish" mavzusida shunday masala bor edi: 1-topshiriq. 4 ✕ 4 kvadratni har biri T harfi shaklida joylashtirilgan 4 ta katakdan iborat bo'lgan 4 ta teng figuraga bo’ling. Yechim. Biz talabni bosqichma-bosqich bajaramiz. Uni kvadratning burchagiga shunday figurani qo'yishi, keyin esa o'xshashlik bo'yicha kvadratning qolgan qismini xuddi shu shakllar bilan to'ldirishi kerak bo’ladi. Javob: Ilmiybaza.uz Sonli boshqotirmalar. 1) 5 ta bir, amallar va qavslar yordamida 100 ni hosil qiling. 2) To’rtta ikki, amallar ishorasi va qavslar yordamida 1 ga ega bo’l. 3) 7 7 7 7 7 7 7 7 yozuvidagi ayrim raqamlar orasiga qo’shish amalini shunday qo’yingki, natijada hosil bo’lgan ifodaning qiymati 308 ga teng bo’lsin. 4) Buvisi 59 yoshda, nabirasi esa 15 yoshda. Qachon buvisi o’zining nabirasidan ikki marta katta bo’ladi? 5) 80 dan katta hamma ikki xonali sonlar yig’indisi qanday raqam bilan tugaydi? 6) Ikki son yig’indisi nol bilan tugaydi. Qo’shiluvchilar qanday raqamlar bilan tugashi mumkin? 7) Agar har bir uyning oldiga 9 tupdan daraxt ko’chati o’tkazilsa, u holda 100 tup ko’chat yetmaydi, agar 6 tupdan o’tkazilsa, 10 tup yetmaydi. Ko’chada nechta uy bor? 8) Rasmdagi zovurning eni 2 mеtr. Qanday qilib uzunligi 2 mеtrlik ikkita taxta yordamida zovurdan o’tish mumkin? Nazorat savollari. 1. Rim raqamlari qanday holatlarda ishlatiladi? Rim raqamlarida qanday belgilar ishlatiladi? 2. Gugurt cho’pi bilan bajariladigam masalalarning qanday jihatlari mavjud? 3. Quyib olishga doir masalalarda qanday shartlar bajarilishi kerak? Taroziga tortishga doir masalalar qanday amalga oshiriladi? 4. Mantiqiy topshiriqlar bolaning rivojlanishida qanday ahamiyatga ega?