SEVERI TEOREMASI Endi bir Martineeeli-Boxner formulasining qo’llanilishini ko’rsatamiz.Bu formulani sohaning chegarasida berilgan funksiyani sohaning Ichiga davom ettirish shartlarini ifodalovchi muhim teoremani olishda qo’llaymiz. Teorema 1.(Severi) Bog’lamli to’ldiruvchiga ega chegarasi silliq 𝜕𝐷 = 𝑆 , 𝐷 ⊂⊂ Cn (n>1) soha va Sda ꬵϵ𝐶′ funksiya berilgan bo’lsin.Chegaraviy qiymatlari f ga mos keluvchi 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) funksiya topilishi uchun har bir 𝜉ϵS uchun 𝑑𝑓ᴧ𝑑𝜉/𝑠= 0 (1) bo’lishi zarur va yetarli Bu yerda 𝑑𝜉 = 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 (1) shart zarurligini isbotlash oson 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) ekanligidan har bir 𝜉ϵS 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 𝐷 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ shartlarni qanoatlantiradi. Dning Ishida 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 hosilalar𝐷̅ da uzluksiz va chegaralangan S da 𝑓 = 𝑓̅ ekanini ishlatamiz. Defferensiali invariantlik haqidagi teoremaga ko’ra 𝑑𝑓/𝑠 ni hisoblashda biz 𝜉𝜈 , 𝜉̅𝜈 o’zgaruvchilardan foydalanishimiz mumkin (ular erkli bo’lmasa ham) lekin hozirgina isbotlangan 𝑑𝑓/𝑠= ∑ 𝜕𝑓 𝜕𝜉𝜈 𝑛 𝐷=1 𝑑𝜉𝜈 ga ko’ra (1) bajariladi. Yetarliligini isbotlash uchun Martenelli-Boxner formulasidan foydalanib,f ning berilgan qiymatlari bo’yicha f funksiyani quramiz 𝑓̅(𝑧) = ∫ 𝑠 𝑓 (𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) (2) 𝜔(𝜉, 𝑧) = (𝑛−1)! (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 𝑛 𝜈=1 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ |𝜉−𝑧|2𝑛 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (3) Bu yerda (3) a) Avvalo (1)dagi f funksiya S dan tashqari hamma joyda golomorf ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun D forma aniq ekanligini ta’kidlash lozim to’g’ridan-to’g’ri hisoblash shuni ko’rsatadiki 𝜉1 ≠ 𝑧1 uchun Ω1(𝜉, 𝑧) = 𝑛−1 (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 |𝜉−𝑧|2𝑛−2 𝑛 𝜈=2 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 𝜉1−𝑧1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (4) (4) differensial forma 𝜉,𝜉̅ o’zgaruvchi bo’yicha𝜔(𝜉, 𝑧) ga teng. Shuni eslatib o’tamizki Ω1 formada maxsuslik bor va u (2n-2) o’lchovli 𝜉1 = 𝑧1tekislilda unung xususiy hosilalari 𝐷Ω1(𝜉,𝑧) 𝐷𝑧1 ̅̅̅ = (𝑛−1)! 2𝜋𝑖 ∑ (−1)𝜈 |𝜉−𝑧|2𝑛 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝜈 … ᴧ𝜕𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 𝑛 𝜈=2 Faqat 𝜉=z nuqtali maxsuslikka ega.z∉ 𝑆 uchun (2) Mortinelli-Boxner formulasi integral ostidagini 𝑧1̅ bo’yicha differensiallash mumkin: 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1 ̅̅̅ = ∫ 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ 𝑠 (5) Endi shuni ta’kidlaymizki,(1) ga ko’ra f funksiya 𝜉,𝜉̅ ga nisbatan differensiallanganda,o’zini doimiydek tutadi. Uni differensila ostiga kiritish mumkin haqiqatdan ham,𝜉ϵS uchun 𝜉1 ≠ 𝑧1 Bizda quyidagi formula: D(fΩ1)=dfᴧΩ1 + 𝑓𝜔 = 𝑓Ω (6) Chunki Ω1 ni tarkibida d𝜉 bor va (1)dan qo’shilvchi nolga teng.𝑧1̅ ga nisbatan (6) xususiy hosilasi ikkala tomondan olib ,𝜉ϵS 𝜉1 ≠ 𝑧1 d{𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ } = 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ (7) Yuqorida aytilganidek 𝜕Ω1 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma faqat 𝜉=z da maxsuslikka ega. Shuning uchun 𝜉ϵS uchun z∉S va 𝜕𝜔 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma uchun ham to’g’ri bo’ladi. Shuning uchun (7) dan 𝜉1 → 𝑧1 da limitga o’tib,uzluksizlikdan bu tenglik barcha 𝜉𝜖𝑆 va z∉S uchun o’rinliligini aniqlaymiz. Bu fikrlar(5)ni z∉S uchun quyidagicha yozish mumkinligini ko’rsatadi. 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1̅ = ∫ 𝑑 {𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉, 𝑧) 𝜕𝑧̅1 } 𝑠 Bu yerda differensial ostidagi to’g’ri forma bizda S-sikl bo’lgani uhun (𝜕𝑆 = 𝜕2 𝐷 = 0) Stoks formulasiga ko’ra o’ng tomon nolga teng. 𝑧1 o’zgaruvchi o’rniga 𝑧𝜈 o’zgaruvchilarni tanlab Ω𝜈(𝜉,z) formalarni tuzamiz.𝜉𝜈 ≠ 𝑧𝜈 da to’g’ri va 𝜕Ω2 = 𝜔 va aynan biz ham barcha z∉S uchun 𝜕𝑓̅ 𝜕𝑧0 ̅̅̅ = 0 ekanini isbotlaymiz. Shunday qilib 𝑓̃ funksiya Sdan boshqa hamma joyda golomorf ekanini isbotlandi. b) Endi bu funksiya 𝐷̅ dan tashqarida 0 ga tengligini ko’rsatamiz. Darhaqiqat 𝐶𝑛 ∕ 𝐷̅ ning |𝑧1| > 𝑚𝑎𝑥 ⏟ 𝜉𝜖𝑧 /𝜉1 bo’lgan qismida (4) forma maxsus emas,shuning uchun (6) ni ishlata olamiz bu qismida yotuvchi z uchun 𝑓(𝑧) = ̃ ∫ 𝑠 𝑓𝜔 = ∫ 𝑠 𝑑(𝑓𝜔1) = 0 ni olamiz.(Stoks formulasi yangidan ishlatildi) .Ammo 𝐷̅ga toldiruvchining aytilgan qismida ichki nuqtalar mavjud va to’ldiruvchining √2𝑖 bog’lamli bo’lgani uchun yagonalik teoremasiga ko’ra 𝑓̅ ≡ 0 butun to’ldiruvchida. c) Nihoyat,𝑓̃ ning chegardagi qiymatlari berilgan f funksiya bilan mos kelishini ko’rsatamiz.Martinelli-Boxner yadrosining xususiyatlarini inobatga olgan holda ∀𝜉0𝜖𝑆 𝑣𝑎 ∀𝑧 ∉ 𝑆 uchun quyidagini yoza olamiz. 𝑓(𝑧) ̃ − 𝒳(𝑧)𝑓(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)] 𝑠 𝜔(𝜉, 𝑧) (8) 𝒳-D ning xarakteristik funksiyasi. Agar (8) ning o’ng tomoni 𝜉𝑜 da uzluksizligini isbotlasak,bizga kerakli xulosani isbotlagan bo’lamiz. Darhaqiqat,Ddagi z→ 𝜉0 da o’ng tomon limeti 0 Uz zdan 𝑧 → 𝜉0 da f(z)→f(𝜉0) D ni Ichida 𝜑(𝑧) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑠 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝑧) funksiyani 𝜉0 da uzluksizligini isbotlash qoldi. Bu uchun avval quyidagi integralni aniqlaymiz. 𝜑(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝜉0) 𝑠 Darhaqiqat integral (2n-1) o’lchovli sirt bo’yicha olinadi va 𝑑𝜉1ᴧ ̅̅̅̅𝑑𝜉2̅ … ᴧ𝑑𝜉̅𝑛ᴧ𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 Ham (2n-1) o’lchovli hajm o’lchovini bildiradi.Bu ko’paytmaning ko’paytuvchilari uchun |𝑓(𝜉)−𝑓(𝜉0)| |𝜉−𝜉0|2𝑛 (𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0) fϵC 1 |𝜉−𝜉0|2𝑛−2 dan yuqori bo’lmagan tartibga ega va natijada 𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0) xuddi 𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0 dek |𝜉 − 𝜉0| dan kichik tartibli bo’ladi. Xuddi shuning (9)dagi integral ostidagi funksiyaning ∞ tartibli o’lchovdan kamida 1ta past bo’ladi va shuning uchun (9)integral yaqinlashuvchi 𝜑(𝑧) − 𝜑(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)][𝜔(𝜉, 𝑧) − 𝜔(𝜉, 𝜉0)] 𝑠 Keyingi tushunchani isbotlash oddiy analiz uslubida amalga oshiriladi va biz faqat uning yo’nalishini e’tiborga olamiz.𝜑(𝑧) − 𝜑(𝜉0) ayirmani integrallashga mos 2 qismga ajratamiz (𝜉0 nuqtaning yetarlicha kichik (nisbatan ) 𝜎 atrofi uchun) va S/𝜎 chegaraning qolgan qismi bo’yicha yaqinlashuvchiligi ko’rsatilgan (9) integralni 1- qismini kichik deb hisoblash uchun S/𝜎 bo’yicha integral yadrosi uzluksiz va natijada 𝜉0 ga yetarli yaqin z larda bu integral ixtiyoriy ravishda kichikdir. 𝑓𝜖𝐶′(𝐷̅) Δ Izoh: Severi teoremasi n=1 da to’g’ri emas.Haqiqatdan ham 𝑓(𝑧) = 1 𝑧 funksiya 𝑈 = {|𝑧| < 1} doira chegarasida (1) shartni qanoatlantiradi. Lekin uni U ga golomorf tarzda davom ettirib bo’maydi. Yuqoridagi isbot n=1 uchun bajarilmaydi chunki Martinelli -Boxner formulasidan farqli o’laroq 𝜕𝜉 𝜉−𝑧 𝜕𝐷 da aniq emas. (4) uchun n=1 da Ω qurib bo’lmaydi. Agar zϵD bo’lsa 𝑓̅(𝑧) = 1 2𝜋𝑖 ∫ 𝑓(𝜉) 𝜕𝐷 𝜉−𝑧 𝑑𝑠 𝑧 ∉ 𝐷 da golomorf albatta ammo 𝐷̅ da 0 bo’lishi mumkin emas. Severi teoremasini qo’llashga misol sifatida bir necha o’zgaruvchili funksiyalarning analitik davomi haqidagi yana bir teorema -kompleks maxsusliklarni yo’qotish haqidagi teoremani isbotini keltiramiz. Teorema 2.(Osgud-Braun) Agar f funksiya 𝐷𝜖𝐶𝑛 (n>1) sohada golomorf 𝐾 ⊂⊂ 𝐷 istesno bo’lishi mumkin uholda f butun D ga golomorf davom etadi. Isbot: D/K to’plamlardan 2n-1 o’lchovli 𝑆1𝑣𝑎𝑆2 sirtlarni tanlab olamiz.Ular 𝐺1 𝑣𝑎𝐺2 bog’lamli sohalarda chegaralangan,K⊂⊂𝐺1 ⊂⊂ 𝐺2 va bunda 𝐺 = 𝐺2⟍𝐺1 ⊂⊂ 𝐷̅ Demak 𝑓𝜖𝜭(𝑮̅) shunda∀𝑧𝜖𝐺 Martenelli-Boxner formulasi 𝑓(𝑧) = ∫ 𝑓(𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) − ∫ 𝑠1 𝑓(𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) 𝑠2 (1) O’rinli .shunga ko’ra 𝑠1𝑣𝑎𝑠2 sirtlar uchun Severi sharti bajariladi:𝑑𝑓ᴧ𝑑𝜉 𝑠1 ⁄ = 𝑑𝑓ᴧ𝑑𝜉 𝑠2 ⁄ =0 Demak z va 𝑠1 dan tashqarida bo’lganligi sababli Severi (1) 2- integrali nolga teng va qo’shimcha ∀𝑧𝜖𝐺 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) o’rinli (2) Lekin xuddi shu (2) Severi integrali 𝐺2da golomorf va analitik davom etadi (isbotladi) Bu teoremadan ko’rinib turibdiki 𝑛 ≥ 2 o’zgaruvchili golomorf funksiya aynan yakkalangan maxsus nuqtaga ega bo’lmaydi. Bunday funksiyaning o’ziga xosligi soha chegarasida yetib borishi yoki cheksizgacha cho’zilishi kerak. Bu teoremadan Linvillteoremasi shartlari bajariladi. Agar 𝑛 ≥ 2 o;zgaruvchili funksiya {|𝑧| < 𝑅}dan tashqarida golomorf va chegaralangan bo’lsa=> f=const .Shuningdek Osgud-Braun teoremasiga ko’ra bu funksiya sharda golomorf davom etadi.Ya’ni u butun funksiya ,lekin {|𝑧| > 𝑅} da kompaktda uzluksiz bo’ladi. Teorema Linvill:D da f-golomorf ya’ni 𝑓𝜖𝜭(𝑫) bo’lsa va chegaralangan bo’lsa, u o’zgarmas soha bo’ladi.