SEVERI TEOREMASI

Yuklangan vaqt

2024-04-05

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

5

Faytl hajmi

28,4 KB


SEVERI TEOREMASI Endi bir Martineeeli-Boxner formulasining qo’llanilishini ko’rsatamiz.Bu formulani sohaning chegarasida berilgan funksiyani sohaning Ichiga davom ettirish shartlarini ifodalovchi muhim teoremani olishda qo’llaymiz. Teorema 1.(Severi) Bog’lamli to’ldiruvchiga ega chegarasi silliq 𝜕𝐷 = 𝑆 , 𝐷 ⊂⊂ Cn (n>1) soha va Sda ꬵϵ𝐶′ funksiya berilgan bo’lsin.Chegaraviy qiymatlari f ga mos keluvchi 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) funksiya topilishi uchun har bir 𝜉ϵS uchun 𝑑𝑓ᴧ𝑑𝜉/𝑠= 0 (1) bo’lishi zarur va yetarli Bu yerda 𝑑𝜉 = 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 (1) shart zarurligini isbotlash oson 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) ekanligidan har bir 𝜉ϵS 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 𝐷 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ shartlarni qanoatlantiradi. Dning Ishida 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 hosilalar𝐷̅ da uzluksiz va chegaralangan S da 𝑓 = 𝑓̅ ekanini ishlatamiz. Defferensiali invariantlik haqidagi teoremaga ko’ra 𝑑𝑓/𝑠 ni hisoblashda biz 𝜉𝜈 , 𝜉̅𝜈 o’zgaruvchilardan foydalanishimiz mumkin (ular erkli bo’lmasa ham) lekin hozirgina isbotlangan 𝑑𝑓/𝑠= ∑ 𝜕𝑓 𝜕𝜉𝜈 𝑛 𝐷=1 𝑑𝜉𝜈 ga ko’ra (1) bajariladi. Yetarliligini isbotlash uchun Martenelli-Boxner formulasidan foydalanib,f ning berilgan qiymatlari bo’yicha f funksiyani quramiz 𝑓̅(𝑧) = ∫ 𝑠 𝑓 (𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) (2) 𝜔(𝜉, 𝑧) = (𝑛−1)! (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 𝑛 𝜈=1 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ |𝜉−𝑧|2𝑛 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (3) Bu yerda (3) a) Avvalo (1)dagi f funksiya S dan tashqari hamma joyda golomorf ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun D forma aniq ekanligini ta’kidlash lozim to’g’ridan-to’g’ri hisoblash shuni ko’rsatadiki 𝜉1 ≠ 𝑧1 uchun Ω1(𝜉, 𝑧) = 𝑛−1 (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 |𝜉−𝑧|2𝑛−2 𝑛 𝜈=2 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 𝜉1−𝑧1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (4) SEVERI TEOREMASI Endi bir Martineeeli-Boxner formulasining qo’llanilishini ko’rsatamiz.Bu formulani sohaning chegarasida berilgan funksiyani sohaning Ichiga davom ettirish shartlarini ifodalovchi muhim teoremani olishda qo’llaymiz. Teorema 1.(Severi) Bog’lamli to’ldiruvchiga ega chegarasi silliq 𝜕𝐷 = 𝑆 , 𝐷 ⊂⊂ Cn (n>1) soha va Sda ꬵϵ𝐶′ funksiya berilgan bo’lsin.Chegaraviy qiymatlari f ga mos keluvchi 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) funksiya topilishi uchun har bir 𝜉ϵS uchun 𝑑𝑓ᴧ𝑑𝜉/𝑠= 0 (1) bo’lishi zarur va yetarli Bu yerda 𝑑𝜉 = 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 (1) shart zarurligini isbotlash oson 𝑓̅𝜖𝐻(𝐷) ∩ 𝐶′(𝐷̅) ekanligidan har bir 𝜉ϵS 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 𝐷 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ shartlarni qanoatlantiradi. Dning Ishida 𝜕𝑓̅ 𝜕𝜉𝐷 = 0 hosilalar𝐷̅ da uzluksiz va chegaralangan S da 𝑓 = 𝑓̅ ekanini ishlatamiz. Defferensiali invariantlik haqidagi teoremaga ko’ra 𝑑𝑓/𝑠 ni hisoblashda biz 𝜉𝜈 , 𝜉̅𝜈 o’zgaruvchilardan foydalanishimiz mumkin (ular erkli bo’lmasa ham) lekin hozirgina isbotlangan 𝑑𝑓/𝑠= ∑ 𝜕𝑓 𝜕𝜉𝜈 𝑛 𝐷=1 𝑑𝜉𝜈 ga ko’ra (1) bajariladi. Yetarliligini isbotlash uchun Martenelli-Boxner formulasidan foydalanib,f ning berilgan qiymatlari bo’yicha f funksiyani quramiz 𝑓̅(𝑧) = ∫ 𝑠 𝑓 (𝜉)𝜔(𝜉, 𝑧) (2) 𝜔(𝜉, 𝑧) = (𝑛−1)! (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 𝑛 𝜈=1 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ |𝜉−𝑧|2𝑛 𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (3) Bu yerda (3) a) Avvalo (1)dagi f funksiya S dan tashqari hamma joyda golomorf ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun D forma aniq ekanligini ta’kidlash lozim to’g’ridan-to’g’ri hisoblash shuni ko’rsatadiki 𝜉1 ≠ 𝑧1 uchun Ω1(𝜉, 𝑧) = 𝑛−1 (2𝜋𝑖)𝑛 ∑ (−1)𝜈−1 |𝜉−𝑧|2𝑛−2 𝑛 𝜈=2 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 𝜉1−𝑧1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 (4)
(4) differensial forma 𝜉,𝜉̅ o’zgaruvchi bo’yicha𝜔(𝜉, 𝑧) ga teng. Shuni eslatib o’tamizki Ω1 formada maxsuslik bor va u (2n-2) o’lchovli 𝜉1 = 𝑧1tekislilda unung xususiy hosilalari 𝐷Ω1(𝜉,𝑧) 𝐷𝑧1 ̅̅̅ = (𝑛−1)! 2𝜋𝑖 ∑ (−1)𝜈 |𝜉−𝑧|2𝑛 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝜈 … ᴧ𝜕𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 𝑛 𝜈=2 Faqat 𝜉=z nuqtali maxsuslikka ega.z∉ 𝑆 uchun (2) Mortinelli-Boxner formulasi integral ostidagini 𝑧1̅ bo’yicha differensiallash mumkin: 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1 ̅̅̅ = ∫ 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ 𝑠 (5) Endi shuni ta’kidlaymizki,(1) ga ko’ra f funksiya 𝜉,𝜉̅ ga nisbatan differensiallanganda,o’zini doimiydek tutadi. Uni differensila ostiga kiritish mumkin haqiqatdan ham,𝜉ϵS uchun 𝜉1 ≠ 𝑧1 Bizda quyidagi formula: D(fΩ1)=dfᴧΩ1 + 𝑓𝜔 = 𝑓Ω (6) Chunki Ω1 ni tarkibida d𝜉 bor va (1)dan qo’shilvchi nolga teng.𝑧1̅ ga nisbatan (6) xususiy hosilasi ikkala tomondan olib ,𝜉ϵS 𝜉1 ≠ 𝑧1 d{𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ } = 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ (7) Yuqorida aytilganidek 𝜕Ω1 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma faqat 𝜉=z da maxsuslikka ega. Shuning uchun 𝜉ϵS uchun z∉S va 𝜕𝜔 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma uchun ham to’g’ri bo’ladi. Shuning uchun (7) dan 𝜉1 → 𝑧1 da limitga o’tib,uzluksizlikdan bu tenglik barcha 𝜉𝜖𝑆 va z∉S uchun o’rinliligini aniqlaymiz. Bu fikrlar(5)ni z∉S uchun quyidagicha yozish mumkinligini ko’rsatadi. 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1̅ = ∫ 𝑑 {𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉, 𝑧) 𝜕𝑧̅1 } 𝑠 Bu yerda differensial ostidagi to’g’ri forma bizda S-sikl bo’lgani uhun (𝜕𝑆 = 𝜕2 𝐷 = 0) Stoks formulasiga ko’ra o’ng tomon nolga teng. 𝑧1 o’zgaruvchi o’rniga 𝑧𝜈 o’zgaruvchilarni tanlab Ω𝜈(𝜉,z) formalarni tuzamiz.𝜉𝜈 ≠ 𝑧𝜈 da to’g’ri va 𝜕Ω2 = 𝜔 va aynan biz ham barcha z∉S uchun 𝜕𝑓̅ 𝜕𝑧0 ̅̅̅ = 0 ekanini isbotlaymiz. Shunday qilib 𝑓̃ funksiya Sdan boshqa hamma joyda golomorf ekanini isbotlandi. (4) differensial forma 𝜉,𝜉̅ o’zgaruvchi bo’yicha𝜔(𝜉, 𝑧) ga teng. Shuni eslatib o’tamizki Ω1 formada maxsuslik bor va u (2n-2) o’lchovli 𝜉1 = 𝑧1tekislilda unung xususiy hosilalari 𝐷Ω1(𝜉,𝑧) 𝐷𝑧1 ̅̅̅ = (𝑛−1)! 2𝜋𝑖 ∑ (−1)𝜈 |𝜉−𝑧|2𝑛 𝜉𝜈−𝑧𝜈 ̅̅̅ 1 𝑑𝜉2ᴧ … ᴧ𝜈 … ᴧ𝜕𝜉𝑛ᴧ𝑑𝜉 𝑛 𝜈=2 Faqat 𝜉=z nuqtali maxsuslikka ega.z∉ 𝑆 uchun (2) Mortinelli-Boxner formulasi integral ostidagini 𝑧1̅ bo’yicha differensiallash mumkin: 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1 ̅̅̅ = ∫ 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ 𝑠 (5) Endi shuni ta’kidlaymizki,(1) ga ko’ra f funksiya 𝜉,𝜉̅ ga nisbatan differensiallanganda,o’zini doimiydek tutadi. Uni differensila ostiga kiritish mumkin haqiqatdan ham,𝜉ϵS uchun 𝜉1 ≠ 𝑧1 Bizda quyidagi formula: D(fΩ1)=dfᴧΩ1 + 𝑓𝜔 = 𝑓Ω (6) Chunki Ω1 ni tarkibida d𝜉 bor va (1)dan qo’shilvchi nolga teng.𝑧1̅ ga nisbatan (6) xususiy hosilasi ikkala tomondan olib ,𝜉ϵS 𝜉1 ≠ 𝑧1 d{𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ } = 𝑓(𝜉) 𝜕𝜔(𝜉,𝑧) 𝜕𝑧1 ̅̅̅ (7) Yuqorida aytilganidek 𝜕Ω1 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma faqat 𝜉=z da maxsuslikka ega. Shuning uchun 𝜉ϵS uchun z∉S va 𝜕𝜔 𝜕𝑧1 ̅̅̅ forma uchun ham to’g’ri bo’ladi. Shuning uchun (7) dan 𝜉1 → 𝑧1 da limitga o’tib,uzluksizlikdan bu tenglik barcha 𝜉𝜖𝑆 va z∉S uchun o’rinliligini aniqlaymiz. Bu fikrlar(5)ni z∉S uchun quyidagicha yozish mumkinligini ko’rsatadi. 𝜕𝑓(𝑧) ̅̅̅̅̅̅ 𝜕𝑧1̅ = ∫ 𝑑 {𝑓(𝜉) 𝜕𝜔1(𝜉, 𝑧) 𝜕𝑧̅1 } 𝑠 Bu yerda differensial ostidagi to’g’ri forma bizda S-sikl bo’lgani uhun (𝜕𝑆 = 𝜕2 𝐷 = 0) Stoks formulasiga ko’ra o’ng tomon nolga teng. 𝑧1 o’zgaruvchi o’rniga 𝑧𝜈 o’zgaruvchilarni tanlab Ω𝜈(𝜉,z) formalarni tuzamiz.𝜉𝜈 ≠ 𝑧𝜈 da to’g’ri va 𝜕Ω2 = 𝜔 va aynan biz ham barcha z∉S uchun 𝜕𝑓̅ 𝜕𝑧0 ̅̅̅ = 0 ekanini isbotlaymiz. Shunday qilib 𝑓̃ funksiya Sdan boshqa hamma joyda golomorf ekanini isbotlandi.
b) Endi bu funksiya 𝐷̅ dan tashqarida 0 ga tengligini ko’rsatamiz. Darhaqiqat 𝐶𝑛 ∕ 𝐷̅ ning |𝑧1| > 𝑚𝑎𝑥 ⏟ 𝜉𝜖𝑧 /𝜉1 bo’lgan qismida (4) forma maxsus emas,shuning uchun (6) ni ishlata olamiz bu qismida yotuvchi z uchun 𝑓(𝑧) = ̃ ∫ 𝑠 𝑓𝜔 = ∫ 𝑠 𝑑(𝑓𝜔1) = 0 ni olamiz.(Stoks formulasi yangidan ishlatildi) .Ammo 𝐷̅ga toldiruvchining aytilgan qismida ichki nuqtalar mavjud va to’ldiruvchining √2𝑖 bog’lamli bo’lgani uchun yagonalik teoremasiga ko’ra 𝑓̅ ≡ 0 butun to’ldiruvchida. c) Nihoyat,𝑓̃ ning chegardagi qiymatlari berilgan f funksiya bilan mos kelishini ko’rsatamiz.Martinelli-Boxner yadrosining xususiyatlarini inobatga olgan holda ∀𝜉0𝜖𝑆 𝑣𝑎 ∀𝑧 ∉ 𝑆 uchun quyidagini yoza olamiz. 𝑓(𝑧) ̃ − 𝒳(𝑧)𝑓(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)] 𝑠 𝜔(𝜉, 𝑧) (8) 𝒳-D ning xarakteristik funksiyasi. Agar (8) ning o’ng tomoni 𝜉𝑜 da uzluksizligini isbotlasak,bizga kerakli xulosani isbotlagan bo’lamiz. Darhaqiqat,Ddagi z→ 𝜉0 da o’ng tomon limeti 0 Uz zdan 𝑧 → 𝜉0 da f(z)→f(𝜉0) D ni Ichida 𝜑(𝑧) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑠 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝑧) funksiyani 𝜉0 da uzluksizligini isbotlash qoldi. Bu uchun avval quyidagi integralni aniqlaymiz. 𝜑(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝜉0) 𝑠 Darhaqiqat integral (2n-1) o’lchovli sirt bo’yicha olinadi va 𝑑𝜉1ᴧ ̅̅̅̅𝑑𝜉2̅ … ᴧ𝑑𝜉̅𝑛ᴧ𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 Ham (2n-1) o’lchovli hajm o’lchovini bildiradi.Bu ko’paytmaning ko’paytuvchilari uchun |𝑓(𝜉)−𝑓(𝜉0)| |𝜉−𝜉0|2𝑛 (𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0) fϵC 1 |𝜉−𝜉0|2𝑛−2 dan yuqori bo’lmagan tartibga ega va natijada 𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0) xuddi 𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0 dek |𝜉 − 𝜉0| dan kichik tartibli bo’ladi. b) Endi bu funksiya 𝐷̅ dan tashqarida 0 ga tengligini ko’rsatamiz. Darhaqiqat 𝐶𝑛 ∕ 𝐷̅ ning |𝑧1| > 𝑚𝑎𝑥 ⏟ 𝜉𝜖𝑧 /𝜉1 bo’lgan qismida (4) forma maxsus emas,shuning uchun (6) ni ishlata olamiz bu qismida yotuvchi z uchun 𝑓(𝑧) = ̃ ∫ 𝑠 𝑓𝜔 = ∫ 𝑠 𝑑(𝑓𝜔1) = 0 ni olamiz.(Stoks formulasi yangidan ishlatildi) .Ammo 𝐷̅ga toldiruvchining aytilgan qismida ichki nuqtalar mavjud va to’ldiruvchining √2𝑖 bog’lamli bo’lgani uchun yagonalik teoremasiga ko’ra 𝑓̅ ≡ 0 butun to’ldiruvchida. c) Nihoyat,𝑓̃ ning chegardagi qiymatlari berilgan f funksiya bilan mos kelishini ko’rsatamiz.Martinelli-Boxner yadrosining xususiyatlarini inobatga olgan holda ∀𝜉0𝜖𝑆 𝑣𝑎 ∀𝑧 ∉ 𝑆 uchun quyidagini yoza olamiz. 𝑓(𝑧) ̃ − 𝒳(𝑧)𝑓(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)] 𝑠 𝜔(𝜉, 𝑧) (8) 𝒳-D ning xarakteristik funksiyasi. Agar (8) ning o’ng tomoni 𝜉𝑜 da uzluksizligini isbotlasak,bizga kerakli xulosani isbotlagan bo’lamiz. Darhaqiqat,Ddagi z→ 𝜉0 da o’ng tomon limeti 0 Uz zdan 𝑧 → 𝜉0 da f(z)→f(𝜉0) D ni Ichida 𝜑(𝑧) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑠 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝑧) funksiyani 𝜉0 da uzluksizligini isbotlash qoldi. Bu uchun avval quyidagi integralni aniqlaymiz. 𝜑(𝜉0) = ∫ [𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0)]𝜔(𝜉, 𝜉0) 𝑠 Darhaqiqat integral (2n-1) o’lchovli sirt bo’yicha olinadi va 𝑑𝜉1ᴧ ̅̅̅̅𝑑𝜉2̅ … ᴧ𝑑𝜉̅𝑛ᴧ𝑑𝜉1ᴧ … ᴧ𝑑𝜉𝑛 Ham (2n-1) o’lchovli hajm o’lchovini bildiradi.Bu ko’paytmaning ko’paytuvchilari uchun |𝑓(𝜉)−𝑓(𝜉0)| |𝜉−𝜉0|2𝑛 (𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0) fϵC 1 |𝜉−𝜉0|2𝑛−2 dan yuqori bo’lmagan tartibga ega va natijada 𝑓(𝜉) − 𝑓(𝜉0) xuddi 𝜉𝜈 − 𝜉𝜈 0 dek |𝜉 − 𝜉0| dan kichik tartibli bo’ladi.