Ilmiybaza.uz SONLI REBUSLARGA DOIR MASALALAR. KONSTRUKTIV MASALALAR. MATEMATIK QONUNIYATLARNI TOPISHGA DOIR MASALALAR. KOMBINATORIK MASALALAR. MOSLIK VA MUNOSABATGA DOIR MASALALAR REJA: 1. Sonli rebuslarga doir masalalar. Konstruktiv masalalar. 2. Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar. 3. Kombinatorika elementlari. 4. Moslik va munosabatga doir masalalar. Ilmiybaza.uz Tayanch iboralar: Boshlangʻich sinf, nostandart masala, sonli rebus, matematik qonuniyat, kombinatorika. 1. Sonli rebuslar - ba’zi raqamlar simvollar (harflar, yulduzchalar va h.k) bilan almashtirilgan arifmetik ifodalar bo’lib, uni yechish simvol orqali belgilangan raqamni aniqlash va sonning yozuvini tiklash, ya’ni mantiqiy xulosa qilish yo`li bilan amalga oshiriladi. Rebuslarni shifrlash (ya’ni raqamlarni simvollar bilan almashtirish) va shifrlar bilan yozilgan sonlarni aniqlashning bir necha usullari mavjud. 1) agar rebus harflar bilan shifrlansa, u holda har bir raqamga yagona harf mos kelishi va turli harflarga turli raqamlar mos kelishi zarurdir. Shuning uchun rebusni yechishda biror harfning son qiymati topilgan bo`lsa, u holda boshqa harflar bu qiymatni qabul qilishlari mumkin emas. 2) rebus bitta simvol (ko`p hollarda yulduzcha) bilan shifrlansa, u holda bu simvol orqali turli raqamlar shifrlangan bo`ladi. Rebuslarni yechishda ko`p hollarda quyidagi qoidalardan foydalaniladi. 1. Agar ixtiyoriy sonni bir xonali songa ko`paytirilganda yana o`sha sonning o`zi hosil bo`lsa, u holda ko`paytuvchi 1 ga teng bo`ladi. 2. Sonning yozuvida chapdan eng chetdagi raqam 0 bo`la olmaydi. 3. Agar 0 bilan tugamaydigan ixtiyoriy sonni, ixtiyoriy bir xonali songa ko`paytirilganda birlar xonasida 0 hosil bo`lsa, u holda ko`paytuvchilarning birlar xonasidagi raqamlaridan biri 5 ga teng bo`lib, ikkinchisi juft son bo`ladi. Sonli rebuslarni yechishda bunga o`xshash xossalar ko`p bo`lib, ularning har biri konkret misollarni yechish jarayonida aniqlashtirib boriladi. Sonli rebuslarni ularda bajariladigan arifmetik amallarga qarab, ikki guruhga ajratish mumkin: - qoshish va ayirish amallarini qo`llashga doir sonli rebuslar; - ko`paytirish va bo`lish amallarini qo`llashga doir sonli rebuslar. Quyida bitta simvol-yulduzcha orqali raqamlari almashtirilgan sonli rebuslarni yechishga doir misollar ko`rib o`tamiz. Ilmiybaza.uz 1-misol. * o`rniga shunday raqamlarni qo`yingki, natijada to`g`ri sonli tenglik hosil bo`lsin: 5*+6*3=*01 Yechish. Dastlab birinchi qo`shiluvchining birlar xonasidagi raqamini quyidagi shartdan aniqlaymiz: 3 soni bilan shunday sonning yig`indisini topish kerakki, yig`indining oxirgi raqami 1 bilan tugaydigan son bo`lsin. Bu shartni 8 soni qanoatlantiradi, chunki 8+3=11 (58+6*3=*01) So`ngra ikkinchi qo`shiluvchining o`nlar xonasidagi raqamini aniqlaymiz. O`nlar xonasidagi raqamlar yig`indisini topishda birlar xonasidagi raqamlarni qo`shishda hosil bo`lgan 1 ta o`nlikni hisobga olishimiz zarur bo`lib, unga yana 5 ta o`nlikni qo`shib, biz 0 raqami bilan tugaydigan sonni hosil qilishimiz kerak. Bu shartni 4 soni qanoatlantiradi, chunki 5+1+4=10 (58+*43=*01). O`nliklarni qo`shishda biz 1 ta yuzlikni hosil qildik. Shuning uchun 6 ta yuzlikni qo`shamiz: 6+1=7. Bundan, 58+643=701 ekanligini kelib chiqadi. Agar qo`shishni ustun shaklda ifodalasak, quyidagi bosqichlarni amalga oshirgan bo`lamiz. 2-misol. * o`rniga shunday raqamlarni qo`yingki, natijada to`g`ri sonli tenglik hosil bo`lsin: *7*+*8 = **22 Yechish. Dastlab birinchi qo`shiluvchining birlar xonasidagi raqamini aniqlaymiz: Buning uchun 8 soni bilan shunday sonning yig`indisini topish kerakki, yig`indining oxirgi raqami 2 bilan tugaydigan son bo`lsin. Bu shartni 4 soni qanoatlantiradi, chunki 8+4=12 . So`ngra ikkinchi qo`shiluvchining o`nlar xonasidagi raqamini aniqlaymiz. Bunda birlar xonasidagi raqamlarni qo`shganda hosil bo`lgan bitta o`nlikni hisobga olamiz. Ilmiybaza.uz Unga yana 7 ta o`nlikni qo`shib, biz 2 raqami bilan tugaydigan sonni hosil qilishimiz zarur. Bu shartni 4 soni qanoatlantiradi, chunki 7+1+4=12. Endi birinchi qo`shiluvchining yuzlar xonasidagi raqamini aniqlaymiz: uch xonali son bilan, ikki xonali sonning yig`indisi to`rt xonali son bo`lishi uchun uch xonali son 9 ta yuzlikni o`zida saqlashi zarur. Demak, birinchi qo`shiluvchining yuzlar xonasidagi raqami 9 bo`ladi. O`nliklarni qo`shishda biz 1 ta yuzlik hosil qilgan edik. Shuning uchun yig`indining minglar xonasida 1 raqami hosil bo`lishi uchun unga 9 raqami qo`shamiz. Demak, 974+48=1022. Agar qo`shishni ustun shaklda ifodalasak, quyidagi bosqichlarni amalga oshirgan bo`lamiz. Ba’zi hollarda bu turdagi misollar bitta emas, balki bir nechta yechimga ham ega bo`lishi mumkin. Quyida ana shunday hol uchun misol ko`ramiz. 3-misol. * o`rniga raqamlar qo`yilganda **4+3*=**** sonli tenglikning birinchi qo`shiluvchisi qaysi sonlar bo`lishi mumkin? Javobni asoslang. Yechish. Uch xonali son bilan 3 ta o`nlikni o`zida oluvchi ikki xonali son yig`indisi 4 xonali son bo`lishi faqat, uch xonali son 9 ta yuzlikni o`zida saqlagandagina, ya’ni uch xonali sonning yuzlar xonasidagi raqami 9 ga teng bo`lgandagina bo`lishi mumkin. Bu holda to`rt xonali sonning minglar xonasidagi raqami 1 ga teng bo`ladi. Uch xonlali sonning o`nlar xonasidagi raqami quyidagi shartdan topiladi: bu sonning 3 yoki 4 (birlar xonasi raqamlari yig`indisi ikki xonali sonni berishi hisobiga) soni bilan yig`indisi 10 dan katta yoki teng bo`lishi zarur. Bu shartni 6,7,8,9 sonlari qanoatlantiradi. Demak birinchi qo`shiluvchi 964, 974, 984, va 994 sonlari bo`lishi mumkin. Javob: 964, 974, 984, va 994. Ilmiybaza.uz 4-misol. * o`rniga shunday raqamlarni qo`yingki, natijada to`g`ri sonli tenglik hosil bo`lsin: **25-*8*=*8. Yechish. To`rt xonali sondan uch xonali sonning ayirmasi ikki xonali son bo`lmoqda. Demak, kamayuvchi 1100 dan kichik to`rt xonali son bo`lib, uning minglar xonasida raqami 1, yuzlar xonasida esa 0 raqami turishi zarur. Kamayuvchining birlar xonasidagi raqami (5) ayirmaning birlar xonasidagi raqamidan (8) kichik, demak, ayriluvchining birlar xonasidagi raqamini topish uchun 2 ta o`nlikdan, 1 ta o`nlik olinib, 15 birlik hosil qilinadi va kamayuvchining o`nlar xonasida1 raqami qoladi. 15 sonidan 8 sonini ayirib 7 sonini hosil qilamiz. Demak, ayriluvchining birlar xonasi raqami 7 bo`ladi (15-8=7). Ayirmaning o`nlar xonasidagi raqamini topish uchun kamayuvchidagi 1 ta minglik ta 10 yuzlik qilib olinadi va bu holda minglar xonasida 0 raqami hosil bo`ladi. 10 ta yuzlikdan 1ta yuzlik hisobiga 10ta o`nlik olinib, 11 ta o`nlik hosil qilinadi. U holda ayirmaning o`nlik xonasidagi 3 raqami hosil bo`ladi (11-8=3). Yuqorida ko`rsatilganday kamayuvchining minglar xonasida 0 raqami, yuzlar xonasida bitta yuzlik hisobiga 10 ta o`nlikdan bittasi olingani uchun yuzlar xonasida 9 raqami bo`ladi. Ayirmaning yuzlar xonasida raqami 0 bo`lgani uchun, ayriluvchining yuzlar xonasidagi raqami kamayuvchining yuzlar xonasidagi raqamiga teng bo`lishi zarur. Javob. 1025-987=38. 5-misol. Tushirib qoldirilgan raqamlarni qo`ying. Ilmiybaza.uz Yechish. Birinchi qadamda bo`linuvchi raqami bilan tugashi va bo`lish qoldiqsiz ekanligidan foydalanamiz. Ikkinchi qadamda 35 soni 5 raqami bilan tugaydigan yagona ikki xonali son bo`lib, 140 soni unga qoldiqsiz bo`linishini aniqlaymiz. 140 sonini 35 ga bo`lganda bo`linmada 4 hosil bo`ladi. Demak, bo`luvchi 35 ga, bo`linma esa 24 ga teng. Bunda asoslangan holda uchinchi qadamda bo`linuvchi 24•35=840 ga tengligi va 2•35=70 ga tengligini topamiz. Javob: 840:35=24. Sonli rebuslarning ikkinchi turini yechishda raqamlar berilgan holda to`g`ri sonly tenglik hosil qilish uchun arifmetik amallar belgilarini ularning orasiga mantiqiy fikr yuritish yo`li bilan joylashtirish talab etiladi. Bunda ba’zi hollarda qavslardan ham foydalanishga ruhsat beriladi. Ushbu rebuslar mazmun-mohiyati bo`yicha 2 guruhga bo`linadi: 1. Arifmetik amallar belgilari har bir raqamdan keyin qo`yilib, yechiladigan rebuslar. 6-misol. Tushirib qoldirilgan “ +” yoki “-“ amallarini qo`ying: a) 5 4 3 2 1=3 b) 5 4 3 2 1=5 Yechish. Bu rebuslarning har biri ikkita yechimga ega. Ularni topish o`quvchilarga qiyinchilik tug`dirmaydi: Ilmiybaza.uz a) 5+4-3-2-1=3; 5-4+3-2+1=3. b) 5+4-3-2+1=5; 5-4+3+2-1=5 2. Arifmetik amallar belgilari ba’zi-bir raqamlardan keyin qo`yilib, yechiladigan rebuslar. 7-misol. Ba’zi-bir raqamlar orasiga “+” belgisini shunday qo`yingki, natijada quyidagi chin sonly tenglik hosil bo`lsin: 1 2 3 4 5 6 7 =100 Yechish. Agar barcha raqamlar orasiga “+” belgisini qo`ysak, u holda 100 sonini hosil qila olmaymiz. Raqamlar yozilish tartibida ulardan tuzilgan ixtiyoriy bitta ikki xonali son bilan qolgan bir xonali sonlar yigindisi ham 100 ni bermaydi. Bo`lg`usi yig`indida ikki xonali sonlar bilan qolgan bir xonali sonlar yig`indida 100 ni beradigan ikki juft ikki xonali son mavjud: 23 va 67, 34 va 56. Raqamlarning yozilish tartibida tuzilgan uchta ikki xonali sonlar bilan qolgan bir xonali sonlar yig`indisi ham 100 ni bermaydi, chunki 12+34+56>100, raqamlarning yozilish tartibida tuzilgan uch xonali sonlar yig`indisi 100 dan katta bo`lishi o`z-o`zidan ayyondir. Demak, 1+23+4+5+67=100 va 1+2+34+56+7=100 bo`ladi. 8-misol. Ba’zi-bir raqamlar orasiga”-“ belgisini shunday qo`yingki, natijada quyidagi chin sonli tenglik hosil bo`lsin. 8 7 6 5 4 3 2 1=3 Yechish. Chapdan o`ngga qarab harakatlanib, birinchi “-“ belgisi 7 va 6 sonlari orasiga qo`yilishi kerakligini aniqlaymiz. Keyingi “-“ belgisi 6 va 5 raqamlari orasiga qo`yiladi, chunki agar 5 raqamidan keyin qo`yilsa, u holda 87-65 ifodaning son qiymati 22 ga teng bo`lib, undan bir xonali 4 va 3 va ikki xonali 21 sonini ayirishimiz natijasida 3 sonini hosil qila olmaymiz. Demak “-“ belgisi 6 va 5 raqamlari orasiga qo`yishi kerak. Xuddi shu tarzda mulohaza yuritishni davom ettirib, “-“ belgisi 4 va 3 raqamlari orasiga qo`yilishi zarurligini keltirib chiqaramiz. U holda 87-6-54 ifodaning son qiymati 27 ga teng bo`lib, oxirgi “-“ belgisi 3 va 2 raqamlari orasida qo`yilishligi kelib chiqadi. Demak, 87-6-54-3-21=3 natijani hosil qilamiz. Ilmiybaza.uz Sonli rebuslarning ikkinchi guruh mashqlarini yechish murakkab bo`lgani uchun, boshlang`ich sinflar matematikasida asosan birinchi guruh mashqlari va ayrim sodda 2- guruh mashqlari o`rganiladi. 9-misol. Raqamlar orasiga arifmetik amallar belgisini shunday qo`yingki, natijada quyidagi tenglik o`rinli bo`lsin. Qavslardan ham foydalanish mumkin. 1 2 3 4=5 Yechish. Oxirgi raqam 4, yig`indi 5 ga teng ekanligidan berilgan tenglik o`rinli bo`lishi uchun, 1,2 va 3 raqamlaridan foydalanib tuzilgan sonli ifodaning qiymati 1 ga teng bo`lishi zarur ekanligi kelib chiqadi. Uni topish esa qiyinchilik tug`dirmaydi: (1+2):3=1 Demak, (1+2):3+4=5 bo`ladi. Konstruktiv masalalar. Konstruktiv masala jumlasini tushunishimiz uchun, dastlab, “konstruktiv” hamda “konstruksiya” atamalariga to‘xtalib o‘taylik. Konstruktiv. 1. konstruksiyaga, tuzilishga oid, imoratning konstruktiv kamchiliklari. Konstruksiya [lot. Construction – to‘plash, yig‘ish, tuzish, qurilish]. Rus olimlari M.I.Moro, M.A.Bantova, G.V.Beltyukova, S.I.Volkova, S.V.Stepanovalar tomonidan boshlang‘ich sinf o‘quvchilari uchun yozilgan matematika darsliklarini tahlil qilganimizda, konstruktiv talqin hamda konstruktiv masalalarning tayoqcha o‘rnining o‘zgarishi bilan shakl ko‘rinishining o‘zgarishiga oid, sabzi, kubik va sanoq cho‘plari, ularning bog‘lamlari orqali birlik, o‘nlik tushunchlarini o‘rgatish, shakllarni qismlarga parchalash va hosil bo‘lgan qismlardan yagona shakl qurish, o‘simliklar, hayvonlar, o‘yinchoqlar konstruksiyalari orqali yuza, perimetr, taqqoslash tushunchalarini ifodalash, shakllarni kombinatsiyalash orqali ularning ko‘rinishini o‘zgartirish, naqsh konstruksiyasini davom ettirish, rangli kvadratchalardan foydalanib manzara hosil qilish, ko‘paytmaning o‘rin almashtirish qonunini to‘g‘ri to‘rtburchak orqali isbotlash, tenglama va tengsizlik tushunchalarini arg‘imchoqda tasvirlash, vaqt tushuchasini “qum soat”lardan foydalanib konstruksiyalash, qog‘oz bukish san’ati Ilmiybaza.uz (Origami), “Tangram” o‘yini vositasida ko‘za va gul, kema, uy, mashina va boshqalar maketini yasashga doir shakllarini uchratishimiz mumkin. Deyarli barcha mamlakatlar darsliklarida noma’lum qo‘shiluvchini topish masalasining pallali tarozi vositasida berilgan sahifalarni uchratamiz, lekin, qarshimizdagi sahifada berilgan tasvirlar noma’lum ayriluvchi yoki ko‘paytuvchiga doir bo‘lgan hollar uchramaydi. Portugaliya boshlang‘ich ta’lim tizimi matematika darsliklarida konstruktiv masalaning “Juft yoki toq” hamda “Tangram” o‘yinlari vositasida namoyon bo‘luvchi didaktik shakllarga duch kelamiz. “Juft yoki toq” o‘yini qo‘l barmoqlari konstruksiyasi orqali ifodalanadi, o‘yinda o‘quvchilar o‘z partadoshlaridan qo‘l barmoqlarini ko‘rsatgan holda “juftmi?” yoki “toqmi?” deb so‘rashadi, ushbu o‘yinni bo‘ljak boshlang‘ich sinf o‘qituvchilari dam olish daqiqasida qo‘llashlar tavsiya etiladi. “Tangram” o‘yini bilan biz yaqindan tanishmiz, o‘yinda qog‘oz bir necha qismlarga bo‘linib, qushlar, hayvonlar, uylar va hakozolar maketini yasab berish so‘raladi. Bizningcha, ko‘z bilan ko‘rib, qo‘l bilan ushlash mumkin bo‘lgan jismlar vositasida matematik tushunchalarning o‘qitilishiga, matematika fanini o‘qitishning konstruktiv usuli desak albatta noo‘rin bo‘lmaydi. Ushbu boradagi usullarni 1-sinf matematika darsligining ilk mavzusida uchratamiz. 1-sinf matematika darsligining dastlabki mavzusi(O‘xshashlik va farqlash) konstruktiv usulda o‘quvchilar nigohiga taqdim etilgan. Masalan, o‘xshashlik borasida 2 ta oq rangli uloqchaga - 2 ta oq rangli quyoncha, 3 ta kulrang uloqchaga - 3 ta kulrang quyoncha o‘xshatilgan. Farqlash tushunchasini o‘rgatish uchun esa, yashil, ko‘k, qizil ranglarda berilgan doiralarning katta kichikligini va ranglarini farqlash g‘oyasi mavzuga singdirilgan. Konstruktiv yondashuvning elementlariga “Narsalarni o‘lchamlari bo‘yicha taqqoslash” mavzusida ham duch kelamiz. Ushbu mavzuning maqsadi, 1-sinf o‘quvchisining narsalarni taqqoslashida ularning o‘lchamiga konstruktiv yo‘sinda e’tibor qaratishga undaydi. Aytaylik kitoblarni taqqoslashda, ularni birini Ilmiybaza.uz ikkinchisining ustiga joylashtiradi va natijada, qaysi biri kichik, qay biri katta ekanligini ikkilanmasdan ayta oladi. Shuningdek, ushbu darslikning “Narsalarning o‘zaro joylashuvi” mavzusi, barchamizga, xususan bo‘lajak boshlang‘ich sinf o‘qituvchisiga ma’lum bo‘lgan qo‘shishning o‘rin almashtirish (kommutativlik) qonunining o‘zagi sifatida bayon etilgan. Haqiqatdan ham mazkur g‘oya mevalarning o‘zaro joylashuvi orqali namoyon etilgan bo‘lib, ikki mevaning o‘rni almashgani bilan mevalar qatordan yo‘qolib qolmaydi (bu yerda qator o‘rnida, savat tushunchasidan ham foydalanish mumkin). Masalan dastlabki qatorda “olma, nok, anor” ikkinchi qatorda esa, “nok, olma, anor” mevalari o‘rin olgan. Guvohi bo‘lganingizdek har ikkala qatorda ham 3 tadan meva mavjud. Shuni ham takidlash joizki, “1 dan 10 gacha bo‘lgan sonlarni raqamlash” mavzusi ham konstruktiv usulda tasvirlangan. Bunda konstruktiv element sifatida domino toshlari olingan. 1-rasmda keltirilgan har ikkala konstruktiv masala o‘quvchini kreativ fikrlashga undaydi. Biroq bu kabi konstruktiv masalar darslikda juda kam berilgan. 1-rasmda berilgan 1-masalada geometrik shakllar qizil va ko‘k ranglarda berilgan bo‘lib, o‘quvchidan nechta qizil va nechta ko‘k katakcha borligini yig‘indi ko‘rinishda tasvirlash so‘ralgan. Yig‘indida birinchi qo‘shiluvchi qizil katakchalar, ikkinchi qo‘shiluvchi esa ko‘k katakchalar sonini anglatadi. Mazkur konstruktiv masalaning afzalligi, o‘quvchilarning 1+5 kabi ifodalar yechimini topishda qiynchilkka uchramaganligida. Negaki o‘quvchilar 1+5 yig‘indi yechimini aniqlash uchun, Ilmiybaza.uz dastlab berilgan geometrik shakldagi barcha katakchalarni sanab chiqishada, natijada 1+5 ifoda yechimi 6 bo‘lishiga ishonch hosil qiladi. 1-rasmda bayon etilgan “baliqchalar o‘yini” masalasi, o‘quvchilarning masala yechimini topishlari bilan bir qatorda, uchburchaklarni o‘zaro joylashtirib turli xil ko‘rinishdagi baliqchalarni yasash mumkinligi haqidagi tasavvurlarini ham boyitadi. Shu o‘rinda, bo‘lajak boshlang‘ich sinf o‘qituvchisidan mazkur masalaga o‘xshash bo‘lgan konstruktiv masalalarni yarata olish ko‘nikmasini shakllantirish talab etiladi. Namuna sifatida shuni ayta olamizki, “baliqchalar o‘yini” masalasini shu masalga yaqin bo‘lgan “uchar kabutarlar” masalasi bilan almashtirish mumkin(2- rasmga qarang). Demak, har bir konstruktiv masalaga o‘xshash masala tuza olish mumkin. 2. Zamonaviy ta’lim nafaqat topshiriqlarni mas’uliyat bilan bajaradigan, balki o’z ishiga kreativ yondashadigan ijodkor pedagoglarga muhtoj. Bugun bolaga ma'lum bilimlarni berishgina emas, balki aqliy faoliyatlarini rivojlantirish ta’lim tizimi oldidagi eng muhim topshiriqlardan biridir. Rivojlantiruvchi ta'lim deganda "bilimlarning to'laqonli o’zlashtirilishiga erishiladigan, shu bilan birga aqliy rivojlanishiga bevosita ta'sir ko'rsatadigan o’quv faoliyati" tushuniladi. Rivojlantiruvchi ta'limning asosiy yo’nalishi sifatida o’quvchilarni ijodiy faoliyatga jalb qilish talab etiladi. Olimlarning ijodiy faoliyat haqidagi qarashlari har xil bo’lib, ayrimlari e'tiborlarini ma'lum bir natija olishga qaratishgan (S. A. Rubinshteyn, E.G’oziev B.P.Erdniev, SH.R.Rayxanov, F. Qosimov va boshqalar) bo’lsalar, boshqalari esa faoliyatning olib borilishi (A. Samarin, , B. Adizov, M. Jumayev va boshqalar) muhim deb o’ylaydilar. Lekin insonning yoshi ulg’ayishi bilan reproduktiv faoliyatdan ijodiy faoliyatga o’tishi birmuncha qiyin bo'ladi. Reproduktiv faoliyatda o’quvchi odatdagidek, unga ko’rsatilgan yo'nalishga amal qiladi va qoidalarga qanchalik aniq rioya qilsa, yakuniy maqsadga erishish ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi. Ilmiybaza.uz O’quvchiga biror- bir qonuniyatni u yoki bu yo’l bilan to’laqonli tushuntirish va o’rgatish uchun, masalani yechishga yoki masalani yechishning yangi usulini o’ylab topish kabi ijodiy faoliyatli jarayonga undash samaralidir. Ushbu izlanishni amalga oshirish jarayonida, bola tadqiqot jarayonida olim tomonidan bajarilgan harakatlarni asosiy ma'noda takrorlashini payqash qiyin emas. Albatta, buni to'la ma'nosida ilmiy ish deb bo’lmasada, uning o'ziga xos, sezilarli darajada soddalashtirilgan ko’rinishidir. Aynan shu kabi ijodiy faoliyat o'quvchida nafaqat ilmiy tushunchalar tizimini shakllantirish, balki unga ilmiy-tadqiqot faoliyati xarakterini egallab, o'rganishning haqiqiy sub'ektiga aylanish imkoniyatini berishi mumkin. Psixologlar maktabgacha tayyorgarlik davrini va boshlang'ich maktab yoshini ushbu faoliyatni shakllantirish uchun eng maqbul davr deb hisoblashadi. Ko'plab darsliklar mualliflari boshlang'ich sinf o’quvchilaridagi matematik tafakkurning shakllanishida ko’rgazmali-obrazli holda (M. Axmedov, N. Abduraxmonova, M. Jumayev va boshqalar) fazoviy tasavvurlarni shakllanishning o’rni beqiyos deb hisoblasalar, boshqa mualliflar (K.M.Girfanova, N.U.Bikbayeva, E.Yangabayeva, S.Burxonov, O’.Xudoyorov, Q.Norqulova va boshqalar) esa o'quv jarayonidagi geometrik materialning o’rniga to'xtaladilar. O'qitishning an'anaviy usullari geometrik mazmunga ega bo'lgan topshiriqlarni ikkinchi darajali topshiriq sifatida qaraydilar. Shu sababli geometrik mazmunga ega bo'lgan topshiriqlar orqali ijodiy qbiliyatni shakllantirish masalasi kun tartibidagi asosiy masala bo’lib qolmoqda. Yuqorida aytilganlarning barchasi matematika o'qitishda boshlang'ich sinf o'quvchilarining ijodiy faoliyatini shakllantirish topshiriqsini yechishning dolzarbligi va zarurligini taqozo etadi. Biz ishimizda matematika o'qitish jarayonida matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar yechish orqali boshlang’ich sinf o’quvchilarining ijodiy faoliyatini shakllantirishga qaratilgan topshiriqni yechishning bir necha usulini taklif qilmoqchimiz. Ilmiybaza.uz Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar yechish orqali boshlang’ich sinf o’quvchilarining ijodiy faoliyatini shakllantirish nazariyasi va metodologiyasini ishlab chiqiladi. Boshlang’ich sinf o'quvchilarining ijodiy faolligini shakllantirish topshiriqsini yechish vositasi sifatida biz matematik qonuniyatlarni topish masalasini tanladik. Hozirga qadar o'quv va metodik adabiyotlarida qonuniyatlarni topishda (umumiy yoki matematik) topshiriqlar alohida ajratib ko'rsatilmagan. Shuning uchun ularning ta'rifi berilmagan. Ushbu masalalar faqat qo’shimcha nashrlarda test sifatida taqdim etilgan. Biz matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar deganda, ularning yechimi o'zgaruvchan belgilarning muntazamligi bilan mantiqan aniqlanadigan masalalarni tushunamiz. Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar arifmetik va geometrik mazmundagi masalalarni o'z ichiga oladi. Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalarni quyidagicha tavsiflaymiz: 1- chizma Ilmiybaza.uz O’quv faoliyatida bunday masalalarining xususiy, umumiy, lokal, perspektiv turlari mavjud. Ular bir-biri bilan uzviy bog'liq: mahalliy va o'ziga xos topshiriqlarni yechish odatda umumiy va istiqbolli topshiriqlarni yechish bilan birga keladi. Qonuniyatlarni topishga doir arifmetik mazmundagi topshiriqlar boshlang'ich sinflar uchun maktab o'quv dasturidagi topshiriqlarning muhim qismini tashkil qiladi. Ushbu toifadagi topshiriqlarni bajarish bolalarni raqamlar orasidagi bog’lanishlarni tahlil qilishga, qo'shni ob'ektlarni taqqoslashga, umumlashtirishga, mavhumlashtirishga va, albatta, qonuniyatlarni topishga o'rgatadi. Metodologiya fikrlashning mantiqiy tomonini baholaydi. O’quvchilar har bir qatorni qurish qonuniyatini topishlari va yetishmayotgan raqamlarni kiritishlari kerak bo’ladi. Arifmetik qonuniyatlarni topishga doir topshiriqlar og'zaki savol-javob, yangi materialni mustahkamlash va o'tgan mavzuni so’rash, mustaqil ishlash sifatida bajarish uchun tavsiya etiladi. Qonuniyatlarni topishga doir topshiriqlarni taqqoslab, ular orasida umumiy o'xshashlik borligini ko'rish mumkin. Ammo ularning har biri o'ziga xos xususiyatga ega bo’lib, umumiy xususiyatlariga e'tibor qaratish kerak. Biz chiziqli tuzilishga ega arifmetik mazmundagi topshiriqlar guruhini ko'rib chiqamiz. 1-topshiriq. Sonlar qatorini davom ettiring: 1, 2, 4, 7, 11, … Yechish. Keling, qo'shni raqamlarning farqini ko'rib chiqaylik. Birinchi va ikkinchi son o'rtasidagi farq 1 ga teng. Ikkinchi va uchinchi sonlar farqi 2 ga teng. Uchinchi va to'rtinchi sonlar o'rtasidagi farq 3 ga teng . To'rtinchi va beshinchi sonlar o'rtasidagi farq – 4 ga teng. Demak, beshinchi va oltinchi sonlar o'rtasidagi farq 5 ga teng. Shunday qilib, oltinchi raqam 11 + 5 = 16 ga teng. Javob: 16. 2-topshiriq. Sonlar qatorini davom ettiring: 1, 2, 4, 8, … Yechish. Ilmiybaza.uz Mulohaza yuritib ko’raylik: 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 4, 4 + 4 = 8. Qonuniyat shuni anglatadiki, har bir raqam oldingisidan ikki marta ko'p. Demak keyingi raqam 8 + 8 = 16 ga teng. Javob: 16. Qonuniyatlarni topishga doir chiziqli topshiriqlarning birmuncha murakkabrog’ini ko’rib chiqamiz. Quyidagi topshiriq, "Ko'zgu ortida" deb nomlanadi. 3-topshiriq. Qonuniyatni o'rnating va nuqtalar to’plamidan kerakli shaklni ajratib oling. Yechish. Ushbu "Ko'zgu ortida" topshirig’ining yechimi ma’lum ma’noda oyna bilan bog'liq. Bu chizma sonning oynadagi aksini topish orqali bajariladi. ingichka qora chiziqlar oynani o’rnini ko'rsatadi. Aynan shu joyda asosiy raqam chizmasi tugaydi va uning ko'zgu tasviri boshlanadi. Shunday qilib, agar biz raqamlarning barcha ko'zgu tasvirlarini o'chirsak, izlagan yecimga ega bo’lamiz: Yuqorida biz aloqa konvertlarida ishlatiladigan yozuvdagi raqamlarga ega bo’ldik. Konvertga qarab, unda 7 raqami qanday yozilganligini ko'ramiz va uning oyna aksini chizamiz. Biz keyingi shaklning tasvirini aniqladik. Javob: Ushbu topshiriqdagi qolgan raqamlarni ham xuddi shunday usul bilan davom ettirish mumkin. Ilmiybaza.uz Quyida biz geometrik turdagi matematik qonuniyatlarni topishga doir topshiriqlardan bir nechta namunalar keltiramiz. Geometrik mazmunga ega bo'lgan bunday masalalarini yechish jarayonida o’quvchilarda yangi tushunchalarni shakllantirish uchun nutqini o’stirish va ko’rgazmali namoyish qilish bo'yicha faol ishlar olib boriladi. Masalan: 4-topshiriq. Har bir qator qanday qoida bo’yicha tuzilgan? Ularni davom ettiring. 5-topshiriq. Quyidagi qatorni davom ettirish uchun pastki qatordagi qaysi shaklni tanlash kerak? O'qituvchi: Birinchi qatorning rasmlariga diqqat bilan qarang. Ularning umumiy jihatlari nimada? Qaysi shakl qatorni davom ettirishi mumkin? O’quvchi: D shakl. O'qituvchi: C shaklda ham uchburchak borku. O’quvchi: C shaklda uchburchakning uchi tepaga qaragan. O'qituvchi: to’g’ri, barakalla. Ushbu topshiriqga to'g'ri javob darhol topilmaydi. Kimdir javob variantlarining raqamlari orasidagi farqni ko'rmaydi, kimdir ichki segmentlar soniga, kimdir ularning yo'nalishiga qarab e'tibor beradi. Topshiriqni yechish jarayonida javobni asoslashga imkon beruvchi "vertikal" va "gorizontal" chiziqlar (1-sinfda) tushunchalari kiritiladi. Ilmiybaza.uz Qatordagi qonuniyatlarni aniqlashga doir masalalar chekli va cheksiz bo'lishi mumkin. Chekli qatordagi qonuniyatni topishga doir masalalarga misol keltiramiz: 6-topshiriq. Har bir keyingi shaklda ichki chizilgan uchburchaklardan biri aylana bilan almashtirilsa, oxirgi shakl to'rtta konsentrik doiradan iborat bo'lib qoladi. Barcha uchburchaklar doiralar bilan almashtirildi - bu qator tugaganini anglatadi. Quyidagi javob variantlari berilgan topshiriq faqat bitta shakl noma'lum bo'lganligi sababli ko'proq fikrlashni rivojlantirish imkoniyatini beradi. 7-topshiriq. Javob variantlari berilmagan geometrik mazmundagi matnli masala: 8-topshiriq. Geometriya mamlakatining aholisi quyidagi kosmik kemalarda harakatlanishadi. Bitta kema yo’qolib qoldi, topishga yordam bering. Ilmiybaza.uz Shunday qilib, qonuniyatlarni topishga doir masalalar boshlang’ich sinf o'quvchilarining ijodiy faolligini shakllantirish vositasi sifatida xizmat qiladi, chunki ularni yechish jarayonida tahlil va sintez, taqqoslash va mavhumlashtirish, aniqlik va umumlashtirish kabi ko'nikmalar rivojlanadi. Masalalarni ularning tuzilishiga muvofiq ajratish, o'quvchilarga ijodiy faoliyatga moyilligi nuqtai nazaridan variativ yondoshish imkoniyatini belgilaydi. Qonuniyatlarni topish uchun topshiriqlar nafaqat geometrik, balki arifmetik materialda, shuningdek, matnli asosda berilishi mumkin. Boshlang’ich sinf o'quvchilarining ijodiy faolligini shakllantirish vositasi sifatida matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar yechish jarayonida tahlil va sintez, taqqoslash va mavhumlashtirish, umumlashtirish va aniqlashtirish kabi ko'nikmalar rivojlanadi. Ishda matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalarning tasnifi keltirildi. Tuzilishiga muvofiq geometrik tarkibga ega bo'lgan qonuniyatlarni topishga doir masalalarni ajratish o'quvchilarga differentsiatsiyalashgan yondashuv imkoniyatini belgilab beradi. Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalar nafaqat geometrik, balki arifmetik materialda ham ko'rsatilishi mumkin. O'quvchilarning ijodiy rivojlanishiga qaratilgan masalalar o'qituvchining va bir- birlarining harakatlariga ko'ra boshlang'ich sinf o'quvchilariga taqlid qilish imkoniyatini istisno qilishi yoki hech bo'lmaganda kamaytirishi kerak. Taklif etilayotgan masalalar boshlang'ich sinf o'quvchilarini topshiriqni o'zi yechishga undashi kerak. Boshlang'ich sinf o'quvchilarining ijodiy faolligini rivojlantirish topshiriqlarini yechish jarayoni savolga javob izlash bilan bog'liq ishlarni tartibga Ilmiybaza.uz solishga yo'naltirilgan bo'lishi kerak. Taqdim etilgan masalalar to'g'ri yechimga ega bo’lishi uchun javoblar bir nechta variantga berilishi kerak. Ko`p hollarda amaliy faoliyatda bir necha turli yechimlar variantlariga ega bo`lgan masalalar uchraydi. Bu turdagi masalalarni yechishda tanlovni to`gri amalga oshirish uchun ularning birortasini ham tushurib qoldirmaslik muhimdir. Buning uchun esa barcha bo`lishi mumkin bo`lgan hollarni tanlashni amalga oshirish yoki ularning sonini aniqlash talab etiladi. Yechimni topishga bunday yondoshishni talab etadigan masalalar kombinatorik masalalar deyiladi. Demak to`plamlar nazariyasi nuqtai-nazaridan kombinatorik masalalarni yechish bu biror top’lamdan berilgan aniq xossalarni qanoatlantiruvchi to`plam ostilarini tanlab olish va ularni tartiblash bilan bog`liq bo`ladi. Kombinatorik masalalar berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi kombinatorik birlashmalarning mavjud ekanligini aniqlashga doir; barcha mumkin bo`lgan birlashmalar sonini aniqlashga doir va berilgan tamoyillar bo`yicha eng maqbul bo`ladigan imkoniyatlarni aniqlashga doir bo`lishi mumkin. Kombinatorik masalalarni yechish asosida: yig`indi va ko`paytma qoidalari yotadi. Yig`indi qoidasi quyidagicha ta’riflanadi: agar a ob’ektni m usul bilan va b ob’ektni k usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, u holda “ a yoki b” ob’ektni m+k usul bilan tanlash mumkin. Ko`paytma qoidasi quyidagicha ta’riflanadi: agar a ob’ektni m usul bilan va b ob’ektni k usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, u holda (a,b) juftni usul bilan tanlash mumkin. 1-masala. Tarelkada 4 ta olma va 3 ta anor bor.1) Bitta mevani necha usul bilan tanlab olish mumkin? 2) Bir juft turli mevalarni necha usul bilan tanlab olish mumkin? Yechish. 1) Masala shartiga ko`ra olmani to`rt usul bilan, anorni esa uch usul bilan tanlab olish mumkin. Shartga ko`ra bitta mevani, ya’ni bitta olmani yoki bitta anorni necha usul bilan tanlab olish mumkinligi so`ralayotganligi uchun, yig`indi qoidasiga asosan, bu tanlashni 4 +3=7 usul bilan amalga oshirish mumkin. Ilmiybaza.uz 2) Olmani to`rt usul bilan, anorni esa uch usul bilan tanlab olish mumkin. Shartga ko`ra bir juft, ya’ni bitta olma va bitta anorni (olma, anor) necha usul bilan tanlab olish so`ralayotganligi uchun, ko`paytma qoidasiga asosan uni 4 •3=12 usul bilan amalga oshirish mumkin. Javob: a) 7 usul bilan; b) 12 usul bilan. Yuqorida bu ko`rib o`tilgan yig`indi va ko`paytma qoidalarini ob’ektlar soni k ta bo`lgan hol uchun umumlashtirish mumkin. 2-masala. Agar sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasa 7,3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta ikki xonali son tuzish mumkin? Yechish. Ikki xonali sonni yozish uchun o`nlar xonasidagi raqamni va birlar xonasidagi raqamni tanlab olishimiz zarur. Masala shartiga ko`ra sonning yozuvidagi o`nlar xonasida 7,3 va 6 raqamlarining ixtiyoriy biri bo`lishi mumkin, ya’ni o`nlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. O`nlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng, sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasligi shartidan birlar xonasidagi raqamni tanlash uchun ikkita imkoniyat qoladi. Ixtiyoriy ikki xonali son o`nlar va birlar xonasidagi raqamlardan tuzilgan tartiblangan juft bo`lgani uchun, ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3•2=6 usul bilan amalga oshirish mumkin. Javob: 6 ta ikki xonali son tuzish mumkin: 73,76,36,37,67,63. 3-masala. 7,3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta ikki xonali son tuzish mumkin? Yechish.Bu xolda ham sonning yozuvidagi o`nlar xonasida 7,3 va 6 raqamlarining ihtiyoriy biri bo`lishi mumkin, ya’ni o`nlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. O`nlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng, birlar xonasidagi raqamni ham uch usul bilan tanlash mumkin (chunki sonning yozuvida raqamlar takrorlanishi mumkin); ixtiyoriy ikki xonali sonning yozuvi ikkita raqamdan tuzilgan tartiblangan juft bo`lgani uchun, ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*3=9 usul bilan amalga oshirish mumkin. Javob: 9 ta ikki xonali son tuzish mumkin: 77, 73, 76, 37, 36, 33, 67, 66, 63. Ilmiybaza.uz 4-masala. 7,3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali son tuzish mumkin? Yechish.Masala shartiga ko`ra uch xonali sonlar yozuvida raqamlar takrorlanishi mumkinligidan yuzlar, o`nlar va birlar xonasidagi raqamlarni har birini uch usul bilan tanlash mumkin bo`ladi. Ixtiyoriy uch xonali sonning yozuvi uchta raqamdan tuzilgan tartiblangan uchlikdan iborat bo`lgani uchun, ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*3*3=27 usul bilan amalga oshirish mumkin. Javob: 27 ta uch xonali son tuzish mumkin: 333,336,337,363,366,367,373,376,377,633,636,637,663,666,667,673, 676,677, 733,736,737,763,766,767,773,776,777. 5-masala. Agar sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasa, 7, 3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali son tuzish mumkin? Yechish. Sonning yozuvida yuzlar xonasida 7, 3 va 6 raqamlarining ihtiyoriy biri bo`lishi mumkin ya’ni yuzlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. Yuzlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng shartga ko`ra raqamlar takrorlanmasligidan o`nlar xonasidagi raqamni tanlash uchun ikkita imkoniyat qoladi. O`nlar xonasidagi raqam ham aniqlangandan so`ng birlar xonasidagi raqamni faqat bitta usul bilan tanlash mumkin bo`ladi. Ihtiyoriy uch xonali sonning yozuvi uchta raqamdan tuzilgan tartiblangan uchlik bo`lgani uchun ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*2*1=6 usul bilan amalga oshirish mumkin. Javob: 6 ta uch xonali son tuzish mumkin: 736, 763, 376, 367, 673, 637. 3. Ma’lumki X to`plamning har biri elementiga U to`plamning yagona elementi mos keltirilsa va U to`plamning har biri elementi X to`plamning faqat bitta elementiga mos kelsa X va U to`plamlar orasidagi moslik o`zaro bir qiymatli moslik deyiladi. Shuning uchun bu turdagi masalalarni yechish uchun to`plamlar elementlari o`rtasida talab etilgan moslikni to`g`ri o`rnatish muhim ahamiyat kasb etadi. Top’lamlar elementlari o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslikni o`rnatishga doir vaziyatlarni xulosalar zanjirini qurish yo`li bilan, graflar yordamida yoki jadvallar Ilmiybaza.uz tuzish yo`li bilan modellshtirish mumkin. Shuning uchun ham bu turdagi masalalarni: a) xulosalar zanjirini qurish yo`li bilan yechishda uning shartida berilgan bog`lanishlar alohida-alohida xulosalar shaklida ifodalanadi va har bir xulosa natijasi (oxirgidan tashqari) keyingi xulosani keltirib chiqarish uchun asos bo`ladi va h.k. b)graflar yordamida yechishda berilgan to`plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilanadi, ular o`rtasidagi moslik kesmalar bilan tutashtiriladi; agar to`plam elementlari orasida qaralayotgan moslik o`rinli bo`lmasa(inkori bo`lsa), shtrix chiziqlar bilan tutashtiriladi. v) jadvallar tuzish yo`li bilan yechishning ta’limiy ahamiyati masala shartida berilgan bo`g`lanishlar va ulardan keltirib chiqariladigan xulosalar zanjirini qurish ko`rgazmali holda sistemalashtiriladi. 1-masala. Sinfda o`tkazilgan shashka musobaqasida Ahmad, Botir, Vali va Sohib ishtirok etdi. Ahmad birinchi o`rinni ham, oxirgi o`rinni ham egallamaganligi, Sohib ikkinchi o`rinni egallaganligi, Botir esa birinchi o`rinni egallamaganligi ma’lum bo`lsa, ishtirokchi bolalarning har biri qaysi o`rinni egallagan? Yechish. a) Bu turdagi masalalarni yechishning dastlabki bosqichida o`quvchilarda xulosalar zanjirini qurish ko`nikmalarini tarkib toptirishning quyidagi uslubini qo`llash samaralidir: o`qituvchi tomonidan masala shartida berilgan bog`lanishlar alohida-alohida xulosalar zanjiri sifatida ifodalangan kartochkalar tuzilib, har bir o`quvchiga tarqatiladi va ular ochiq qoldirilgan joylarni to`ldiradilar. Masalan, yuqoridagi masalani yechishda o`qituvchi quyidagi mulohazalar zanjiri ko`rsatilgan kartochkalarni: “Ahmad birinchi o`rinni ham, oxirgi o`rinni ham egallamagan, demak, u ----- o`rinni, yoki ----- o`rinni egallashi mumkin. Sohib ----- o`rinni egallagan. U holda Ahmad ----- o`rinni egallagan. Botir birinchi o`rinni egallamagan bo`lsa, u holda u ----- o`rinni egallagan. Demak Vali -----o`rinni egallagan” o`quvchilarga tarqatib, ochiq qoldirilgan joylar ular tomonidan to`ldirilgach doskada javoblarni muhokama qilish maqsadga muvofiqdir. Ilmiybaza.uz Bu topshiriqlar o`quvchilarda masalalarni xulosalar zanjiri qurish yo`li bilan yechish ko`nikmalarini tarkib toptirishga ko`maklashadi, ularda mulohaza yuritishning faqat tarkibi ko`rsatilgan bo`lib, xulosalar esa o`quvchilar tomonidan mustaqil keltirib chiqariladi. b) O`quvchilarda to`plam elementlari o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslikni o`rnatishga doir mantiqiy masalalarni yechishda xulosalar zanjirini qurish ko`nikmalari tarkib toptirilgach, ular bilan bu masalalarni graflar yordamida yechishga o`tish mumkin. Masala shartiga ko`ra, o`quvchilar ismlari to`plami va o`quvchilar egallagan o`rinlar to`plamiga egamiz. Birinchi to`plam elementlarini A, B,V, va S nuqtalar (o`quvchilar ismlari bosh harflari) bilan, ikkinchi to`plam elementlarini 1,2,3 va 4 sonlari (egallangan o`rinlar) bilan belgilaymiz. Ular o`rtasidagi o`zaro bir qiymatli moslikni kesmalar bilan tutashtiramiz. Agar to`plam elementlari o`rtasida qaralayotgan moslik o`rinli bo`lmasa (inkori bo`lsa), u holda ularni shtrix chiziqlar bilan tutashtiramiz. Grafdan Ahmad 3- o`rinni, Botir esa 4-o`rinni egallaganligini aniqlaymiz. Demak Vali 1-o`rinni egallagan. v) o`quvchilarda yuqorida ko`rib o`tilgan ikki usul bilan bu turdagi mantiqiy masalalarni yechish ko`nikmalari tarkib toptirilgach, yakunlovchi bosqichda ularni jadvallar tuzish yo`li bilan yechishga o`tish mumkin. Jadvalni to`ldirishga kirishishdan oldin o`quvchilar bilan “Agar o`quvchi egallagan o`rni ma’lum bo`lsa, jadvalning mos katagida “+” belgisini, agar egallamagan bo`lsa “-” belgisini qo`yishga kelishib olamiz. Ilmiybaza.uz Masala shartiga ko`ra Axmad birinchi o`rinni ham, oxirgi o`rinni ham egallamaganligi uchun “1-o`rin” satri va “Axmad” ustuni kesishgan hamda “4-o`rin” satri va “Ahmad” ustuni kesishish kataklariga “-” belgisini qo`yamiz. Shu tariqa masala shartida berilgan, shuningdek ulardan keltirib chiqariladigan xulosalar zanjirini qurib, ularga tayangan holda jadvalni to`ldiramiz: -Sohib ikkinchi, o`rinni egallaganligi ma’lum. “+” belgisini qo`yamiz. -Demak Ahmad ikkinchi o`rinni egallamagan. “-” belgisini qo`yamiz. -U holda Ahmad uchinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. -Botir birinchi o`rinni egallamaganligi ma’lum. “-” belgisini qo`yamiz. -Ikkinchi o`rinni Sohib, uchinchi o`rinni Ahmad egallagani uchun Botir to`rtinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. -U holda Vali birinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. 2-masala. Matematikadan o`tkazilgan olimpiadada Barno, Karim va Lobar sovrinli o`rin egallashdi. Lobar birinchi o`rinni egallamaganligi, Barno birinchi o`rinni ham, ikkinchi o`rinni ham egallamaganligi ma’lum bo`lsa, ishtirokchi bolalarning har biri qaysi o`rinni egallagan? Yechish. a) xulosalar zanjiri qurib uni jadval ko`rinishida modellashtirish asosida masalani yechamiz. Jadvalni to`ldirishga kirishishdan oldin o`quvchilar bilan “Agar o`quvchi egallagan o`rni ma’lum bo`lsa, jadvalning mos katagida “+” belgisini, agar egallamagan bo`lsa “-” belgisini qo`yishga kelishib olamiz. Masala shartiga ko`ra, Lobar birinchi o`rinni egallamaganligi uchun “1-o`rin” satri va “Lobar” ustuni kesishish katakchasiga “-” belgisini qo`yamiz. Ilmiybaza.uz Shu tarzda masala shartida berilgan, shuningdek ulardan keltirib chiqariladigan xulosalar zanjirini qurib, ularga asoslangan holda jadvalni to`ldiramiz: Barno birinchi o`rinni ham, ikkinchi o`rinni ham egallamaganligi uchun mos katakchalarga “-” belgisini qo`yamiz. Demak, Barno uchinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. Boshqa o`quvchilar uchinchi o`rinda egallashi mumkin emas. Tegishli kataklarga “-” belgisini qo`yamiz. U holda Lobar ikkinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. Boshqa o`quvchilar ikkinchi o`rinda egallashi mumkin emas. Tegishli katakka “-” belgisini qo`yamiz. Demak Karim birinchi o`rinni egallagan. “+” belgisini qo`yamiz. b) masalani graflar yordamida yechamiz. Masala shartiga ko`ra, o`quvchilar ismlari to`plami va o`quvchilar egallagan o`rinlar to`plamiga egamiz. Birinchi to`plam elementlarini B, K, va L nuqtalar (o`quvchilar ismlari bosh harflari) bilan, ikkinchi to`plam elementlarini 1,2,3 sonlari (egallangan o`rinlar) bilan belgilaymiz. Ular o`rtasidagi o`zaro bir qiymatli moslikni kesmalar bilan tutashtiramiz. Agar to`plam elementlari o`rtasida qaralayotgan moslik o`rinli bo`lmasa (inkori bo`lsa), u holda ularni shtrix chiziqlar bilan tutashtiramiz. Dastlab masala shartida berilgan bog`lanishlar asosida graf yasaymiz, so`ngra berilgan bog`lanishlardan keltirib chiqariladigan xulosalar zanjiriga asoslangan holda yechimni ifodalovchi grafni hosil qilamiz. Grafdan Barno 3- Ilmiybaza.uz o`rinni, Lobar esa 2-o`rinni egallaganligini aniqlaymiz. Demak, Karim 1-o`rinni egallagan. Nazorat savollari. 1. Sonli rebuslarni yechish qoidalarini tushuntiring. Konstruktiv masalalar qanday masalalar? 2. Matematik qonuniyatlarni topishga doir masalalarni tasniflang. 3. Boshlang`ich sinf darsliklaridan kombinatorik masalalarni toping va ularning yechish usullarini ko’rsatib bering. 4. Moslik va munosabatga doir misollar keltiring.