Ilmiybaza.uz
To`plam tushunchasi. To`plamning elеmеnti. Bo`sh to`plam. Chеkli va
chеksiz to`plamlarga misollar. To`plamlarning bеrilish usullari. Tеng
to`plamlar. To`plam osti. Univеrsal to`plam. Eylеr-Vеnn diagrammalari.
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi:
1. To’plam tushunchasi. To’plamning elementi.
2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar.
3. To’plamlarning berilish usullari.
Ilmiybaza.uz
Ma’ruza matni
1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy
tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur
hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra
birgalikda qarashga tushuniladi.
Masalan, hamma natural sonlarni birgalikda qarasak, natural sonlar to‘plami
hosil bo‘ladi. Bir talabalar uyida yashovchi talablarni birgalikda qarash bilan shu
talabalar uyidagi talabalar to‘plamini hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi
hamma nuqtalarni bitta butun deb qarash shu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plamini,
maktabdagi o‘quvchilarni birgalikda qarash o‘quvchilar to‘plamini beradi va h.k.
Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar
to’plami - guruh, harflar to’plami - alfavit, qushlar to’plami - gala, qo’ylar
to’plami - poda va h. k.
1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning elementlari
deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar
mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi.
To‘plamlar odatda, lotin alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari
esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f
elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi.
To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv:
aA (1)
a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi.
aA (2)
Ilmiybaza.uz
a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan
foydalangan holda
a A
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u
holda a element A to’plamga tegishli deyiladi1.
a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq
belgisidan foydalangan holda
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA
bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi2.
To’plamning quvvati, yoki cardinal son tushunchasi to’plam
elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari
soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=6.3
2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam quvvati deyiladi va
n(A) kabi belgilanadi.
Masalan,
{ , , , , , , }
A a b c d e f g
to`plamning quvvati n(A) = 7 ga,
B {a}
to`plamning quvvati n(B) = 1 ga,
{ , , }
C b d f
to`plamning quvvati n(C) = 3 ga,
{ , }
D a g
to`plamning quvvati n(D) = 2 ga,
bo`sh to`plamning quvvati n() = 0 ga teng.
Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit4 sonlarda ifodalanadi.
3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi.
Masalan,
{ , , }
A a b c
va
{ , , }
C b d f
to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3.
To’plam elementi, ya’ni a element
to‘plamning elementi ekanligi a∈A
ko’rinishda yoziladi va «a element A to’plamga tegishli» «a element
to‘plamning elementi», «a element
to‘plamda mavjud» yoki «a element
to‘plamga kiradi» deb o’qiladi.
1 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15
2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15
3 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet
4 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan.
a A
A
A
A
A
Ilmiybaza.uz
Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A
ko’rinishda yoziladi.
Masalan, A — juft natural sonlar to’plami bo’lsin, u holda 2∈A, 5∉A,
628∈A va 729∉A bo’ladi.
2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar.
To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi
mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to‘plamga ega
bo‘lamiz. Masalan:
,
,
to‘plamlar chekli bo‘lib, ular
mos ravishda bitta, ikkita va uchta elementlardan tuzilgan. Quyidagi
,
to‘plamlar cheksiz to‘plam.
4-ta’rif: Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb
ataladi va
bilan belgilanadi.
Masalan, x2 + 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami, oydagi
daraxtlar
to’plami,
dengiz
tubidagi
quruq
toshlar
to’plami
bo’sh
to’plamlardir.
Izoh.
to‘plamda faqat har bir a elementi o‘z-o‘ziga teng, lekin har qanday
ikkita boshqa-boshqa
va
elementni tengmas deb hisoblaymiz, bundan
to‘plamning har bir elementi bu to‘plamda bir martagina olinganligi (bir martagina
uchraganligi) ma’lum bo‘ladi.
elementning o‘z-o‘ziga tengligi
ko‘rinishda,
va
elementlarining har xilligi
ko‘rinishda belgilanadi.
Agar
to‘plamning
elementi
to‘plamning
elementiga teng, ya’ni
desak, bundan bitta element ikkala to‘plamda har xil harflar bilan
belgilanganligini tushunamiz.
3. To’plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning malum
bir to’plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatlianiqlangan bo’lsa,
to’plam berildi deyiladi.
To’plamlar, odatda, ikki usulda beriladi:
1) to’plam elementlari ro’yxati keltiriladi.
Masalan, A = {a; o; i; u; o’; e}; B={qizil, sariq, yashil}; C={ 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9}.
A {a}
{ , }
B a b
{ , , }
a b s
C
{ ,1 23,..., ,...}
n
A
,...,2 ,...}
6,4,2
{
n
B
A
a
b
A
a
a
a
a
b
b
a
A
a
B
b
a b
Ilmiybaza.uz
2) to’plamga
kirgan
elementlarning
yagona
xarakteristik
xossasi
ko’rsatiladi.
Masalan, yuqoridagi to’plamlarni xarakteristik xossa bilan bersak:
A — o’zbek alifbosining unli harflari to’plami;
B — svetofor ranglari to’plami;
C — bir xonali natural sonlar to’plami bo’ladi.
Sonli to’plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay.
Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to’plam elementi belgisi, vertikal
chiziq va undan keyin to’plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan:
«M — 6 sonidan kichik bo’lgan natural sonlar» to’plami bo’lsin. Bu to’plam
xarakteristik xossasi orqali M = {n |n∈N va n < 6} ko’rinishda ifodalanadi.
Shunga o’xshash: C = {c| c < 9, C∈N}. «C — 9 sonidan katta bo’lmagan
natural sonlar» to’plami.
X = {x |x2-4 = 0, x∈R} bo’lsa, X — x2 - 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari
to’plami bo’ladi.
Y={y|-2≤y≤6, y∈R} bo’lsa, Y— -2 dan 6 gacha bo’lgan butun sonlar
to’plami.
Ba'zi bir sonli to’plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: N-natural sonlar
to’plami, Z – butun sonlar to’plami, N0 – butun nomanfiy sonlar to’plami, Q –
ratsional sonlar to’plami, R – haqiqiy sonlar to’plami.
(∈ ) Tegishlilik elementi
To`plamlar orasidagi tegishlilik munosabati. (⊆,⊇,⊂, (shunga
o`hshash ⊊) , ⊃ (shunga o`hshash ⊋,))
Qism to`plamdagi amallar natijasi to`plam bo`ladi:kesishish (∩),
birlashuv (∪), ayirma (-) va simmetrik ayirma (+) ikki to`plam
qismi uchun bajariladigan S nazariy tuzilishi: to`plam quvvati (2 S),
va dekart ko`paytmasi (SxT)
Akslantirish (ya’ni funksiyalar) to`plamlar orasida.
To`plamlardagi munosabatlar va ekvivolent munosabatlar5
5 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 185-186 bet
