To`plam tushunchasi. To`plamning elеmеnti. Bo`sh to`plam. Chеkli va chеksiz to`plamlarga misollar. To`plamlarning bеrilish usullari. Tеng to`plamlar. To`plam osti. Univеrsal to`plam. Eylеr-Vеnn diagrammalari.

Yuklangan vaqt

2024-06-04

Yuklab olishlar soni

7

Sahifalar soni

8

Faytl hajmi

51,7 KB


Ilmiybaza.uz To`plam tushunchasi. To`plamning elеmеnti. Bo`sh to`plam. Chеkli va chеksiz to`plamlarga misollar. To`plamlarning bеrilish usullari. Tеng to`plamlar. To`plam osti. Univеrsal to`plam. Eylеr-Vеnn diagrammalari. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. To’plam tushunchasi. To’plamning elementi. 2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. 3. To’plamlarning berilish usullari. Ilmiybaza.uz To`plam tushunchasi. To`plamning elеmеnti. Bo`sh to`plam. Chеkli va chеksiz to`plamlarga misollar. To`plamlarning bеrilish usullari. Tеng to`plamlar. To`plam osti. Univеrsal to`plam. Eylеr-Vеnn diagrammalari. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. To’plam tushunchasi. To’plamning elementi. 2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. 3. To’plamlarning berilish usullari. Ilmiybaza.uz Ma’ruza matni 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Masalan, hamma natural sonlarni birgalikda qarasak, natural sonlar to‘plami hosil bo‘ladi. Bir talabalar uyida yashovchi talablarni birgalikda qarash bilan shu talabalar uyidagi talabalar to‘plamini hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi hamma nuqtalarni bitta butun deb qarash shu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plamini, maktabdagi o‘quvchilarni birgalikda qarash o‘quvchilar to‘plamini beradi va h.k. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - guruh, harflar to’plami - alfavit, qushlar to’plami - gala, qo’ylar to’plami - poda va h. k. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning elementlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv: aA (1) a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi. aA (2) Ilmiybaza.uz Ma’ruza matni 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Masalan, hamma natural sonlarni birgalikda qarasak, natural sonlar to‘plami hosil bo‘ladi. Bir talabalar uyida yashovchi talablarni birgalikda qarash bilan shu talabalar uyidagi talabalar to‘plamini hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi hamma nuqtalarni bitta butun deb qarash shu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plamini, maktabdagi o‘quvchilarni birgalikda qarash o‘quvchilar to‘plamini beradi va h.k. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - guruh, harflar to’plami - alfavit, qushlar to’plami - gala, qo’ylar to’plami - poda va h. k. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning elementlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv: aA (1) a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi. aA (2) Ilmiybaza.uz a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda   a A ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi1. a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi2. To’plamning quvvati, yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=6.3 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam quvvati deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = 7 ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = 1 ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = 3 ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = 2 ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = 0 ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit4 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va { , , } C  b d f to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «a element A to’plamga tegishli» «a element to‘plamning elementi», «a element to‘plamda mavjud» yoki «a element to‘plamga kiradi» deb o’qiladi. 1 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 3 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 4 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan.  a A  A A A A Ilmiybaza.uz a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda   a A ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi1. a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi2. To’plamning quvvati, yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=6.3 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam quvvati deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = 7 ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = 1 ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = 3 ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = 2 ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = 0 ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit4 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va { , , } C  b d f to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «a element A to’plamga tegishli» «a element to‘plamning elementi», «a element to‘plamda mavjud» yoki «a element to‘plamga kiradi» deb o’qiladi. 1 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 3 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 4 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan.  a A  A A A A Ilmiybaza.uz Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. Masalan, A — juft natural sonlar to’plami bo’lsin, u holda 2∈A, 5∉A, 628∈A va 729∉A bo’ladi. 2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz. Masalan: , , to‘plamlar chekli bo‘lib, ular mos ravishda bitta, ikkita va uchta elementlardan tuzilgan. Quyidagi , to‘plamlar cheksiz to‘plam. 4-ta’rif: Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb ataladi va bilan belgilanadi. Masalan, x2 + 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami, oydagi daraxtlar to’plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to’plami bo’sh to’plamlardir. Izoh. to‘plamda faqat har bir a elementi o‘z-o‘ziga teng, lekin har qanday ikkita boshqa-boshqa va elementni tengmas deb hisoblaymiz, bundan to‘plamning har bir elementi bu to‘plamda bir martagina olinganligi (bir martagina uchraganligi) ma’lum bo‘ladi. elementning o‘z-o‘ziga tengligi ko‘rinishda, va elementlarining har xilligi ko‘rinishda belgilanadi. Agar to‘plamning elementi to‘plamning elementiga teng, ya’ni desak, bundan bitta element ikkala to‘plamda har xil harflar bilan belgilanganligini tushunamiz. 3. To’plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning malum bir to’plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatlianiqlangan bo’lsa, to’plam berildi deyiladi. To’plamlar, odatda, ikki usulda beriladi: 1) to’plam elementlari ro’yxati keltiriladi. Masalan, A = {a; o; i; u; o’; e}; B={qizil, sariq, yashil}; C={ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. A  {a} { , } B  a b { , , } a b s C  { ,1 23,..., ,...} n A  ,...,2 ,...} 6,4,2 { n B   A a b A a a a  a b b a  A a B b a  b Ilmiybaza.uz Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. Masalan, A — juft natural sonlar to’plami bo’lsin, u holda 2∈A, 5∉A, 628∈A va 729∉A bo’ladi. 2. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz. Masalan: , , to‘plamlar chekli bo‘lib, ular mos ravishda bitta, ikkita va uchta elementlardan tuzilgan. Quyidagi , to‘plamlar cheksiz to‘plam. 4-ta’rif: Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb ataladi va bilan belgilanadi. Masalan, x2 + 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami, oydagi daraxtlar to’plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to’plami bo’sh to’plamlardir. Izoh. to‘plamda faqat har bir a elementi o‘z-o‘ziga teng, lekin har qanday ikkita boshqa-boshqa va elementni tengmas deb hisoblaymiz, bundan to‘plamning har bir elementi bu to‘plamda bir martagina olinganligi (bir martagina uchraganligi) ma’lum bo‘ladi. elementning o‘z-o‘ziga tengligi ko‘rinishda, va elementlarining har xilligi ko‘rinishda belgilanadi. Agar to‘plamning elementi to‘plamning elementiga teng, ya’ni desak, bundan bitta element ikkala to‘plamda har xil harflar bilan belgilanganligini tushunamiz. 3. To’plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning malum bir to’plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatlianiqlangan bo’lsa, to’plam berildi deyiladi. To’plamlar, odatda, ikki usulda beriladi: 1) to’plam elementlari ro’yxati keltiriladi. Masalan, A = {a; o; i; u; o’; e}; B={qizil, sariq, yashil}; C={ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. A  {a} { , } B  a b { , , } a b s C  { ,1 23,..., ,...} n A  ,...,2 ,...} 6,4,2 { n B   A a b A a a a  a b b a  A a B b a  b Ilmiybaza.uz 2) to’plamga kirgan elementlarning yagona xarakteristik xossasi ko’rsatiladi. Masalan, yuqoridagi to’plamlarni xarakteristik xossa bilan bersak: A — o’zbek alifbosining unli harflari to’plami; B — svetofor ranglari to’plami; C — bir xonali natural sonlar to’plami bo’ladi. Sonli to’plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to’plam elementi belgisi, vertikal chiziq va undan keyin to’plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan: «M — 6 sonidan kichik bo’lgan natural sonlar» to’plami bo’lsin. Bu to’plam xarakteristik xossasi orqali M = {n |n∈N va n < 6} ko’rinishda ifodalanadi. Shunga o’xshash: C = {c| c < 9, C∈N}. «C — 9 sonidan katta bo’lmagan natural sonlar» to’plami. X = {x |x2-4 = 0, x∈R} bo’lsa, X — x2 - 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami bo’ladi. Y={y|-2≤y≤6, y∈R} bo’lsa, Y— -2 dan 6 gacha bo’lgan butun sonlar to’plami. Ba'zi bir sonli to’plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: N-natural sonlar to’plami, Z – butun sonlar to’plami, N0 – butun nomanfiy sonlar to’plami, Q – ratsional sonlar to’plami, R – haqiqiy sonlar to’plami.  (∈ ) Tegishlilik elementi  To`plamlar orasidagi tegishlilik munosabati. (⊆,⊇,⊂, (shunga o`hshash ⊊) , ⊃ (shunga o`hshash ⊋,))  Qism to`plamdagi amallar natijasi to`plam bo`ladi:kesishish (∩), birlashuv (∪), ayirma (-) va simmetrik ayirma (+) ikki to`plam qismi uchun bajariladigan S nazariy tuzilishi: to`plam quvvati (2 S), va dekart ko`paytmasi (SxT)  Akslantirish (ya’ni funksiyalar) to`plamlar orasida.  To`plamlardagi munosabatlar va ekvivolent munosabatlar5 5 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 185-186 bet Ilmiybaza.uz 2) to’plamga kirgan elementlarning yagona xarakteristik xossasi ko’rsatiladi. Masalan, yuqoridagi to’plamlarni xarakteristik xossa bilan bersak: A — o’zbek alifbosining unli harflari to’plami; B — svetofor ranglari to’plami; C — bir xonali natural sonlar to’plami bo’ladi. Sonli to’plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to’plam elementi belgisi, vertikal chiziq va undan keyin to’plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan: «M — 6 sonidan kichik bo’lgan natural sonlar» to’plami bo’lsin. Bu to’plam xarakteristik xossasi orqali M = {n |n∈N va n < 6} ko’rinishda ifodalanadi. Shunga o’xshash: C = {c| c < 9, C∈N}. «C — 9 sonidan katta bo’lmagan natural sonlar» to’plami. X = {x |x2-4 = 0, x∈R} bo’lsa, X — x2 - 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami bo’ladi. Y={y|-2≤y≤6, y∈R} bo’lsa, Y— -2 dan 6 gacha bo’lgan butun sonlar to’plami. Ba'zi bir sonli to’plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: N-natural sonlar to’plami, Z – butun sonlar to’plami, N0 – butun nomanfiy sonlar to’plami, Q – ratsional sonlar to’plami, R – haqiqiy sonlar to’plami.  (∈ ) Tegishlilik elementi  To`plamlar orasidagi tegishlilik munosabati. (⊆,⊇,⊂, (shunga o`hshash ⊊) , ⊃ (shunga o`hshash ⊋,))  Qism to`plamdagi amallar natijasi to`plam bo`ladi:kesishish (∩), birlashuv (∪), ayirma (-) va simmetrik ayirma (+) ikki to`plam qismi uchun bajariladigan S nazariy tuzilishi: to`plam quvvati (2 S), va dekart ko`paytmasi (SxT)  Akslantirish (ya’ni funksiyalar) to`plamlar orasida.  To`plamlardagi munosabatlar va ekvivolent munosabatlar5 5 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 185-186 bet Ilmiybaza.uz Basics of Set Theory In this section we shall consider some elementary consepts related to sets and their elements ,assuming that at a certain level ,the students have encountered the notions .In particular we wish to review (not necessarily in this order)  Element containment (E)  Containment relationships between sets (….. same as ),….(same as ))  Operations on subsets of a given set :intersection (∩),union ,(∪), difference (-),and symmetric difference (+) of two subsets of a given set.  Set-theoretic constructions: Power set (2 s),and Cartesian product (S x T)  Mappings (I,e,…,functions ) between sets.  Relations and equivalence relations on sets. Looks scray ,doesn’t it? Don’t worry it’s all very natural… Before we launch into these topics ,let’s get really crazy for a moment.What we’re going to talk about is naïve set theory .As oppesed to what, you might ask? Well, here’s the point.When talking about sets,we typically use the language, “The set of all……” Don’t we often talk like this? Haven’t you heard me say, ”consider the set of all integers” or “the set of all real numbers ”? Maybe I’ve even asked you to think about the “set of all differentiable functions defined on the whole real line”. Surely none of this can possibly cause any difficulties !But what if we decide to consider something really huge, like the “set of all sets”? Despite the fact that this set is really big, it shouldn’t be a problem,should it? The only immediately peculiar aspect of this set-let’s call it B (for “big”)-is that not only B… B (which is true for all set’s ), but also that B ⊂ B. Since the set {1} ⊂{1},we see that for a given set A , it may or may not happen that A ⊂ A .This leads us to consider, as did Bertrand Ilmiybaza.uz Basics of Set Theory In this section we shall consider some elementary consepts related to sets and their elements ,assuming that at a certain level ,the students have encountered the notions .In particular we wish to review (not necessarily in this order)  Element containment (E)  Containment relationships between sets (….. same as ),….(same as ))  Operations on subsets of a given set :intersection (∩),union ,(∪), difference (-),and symmetric difference (+) of two subsets of a given set.  Set-theoretic constructions: Power set (2 s),and Cartesian product (S x T)  Mappings (I,e,…,functions ) between sets.  Relations and equivalence relations on sets. Looks scray ,doesn’t it? Don’t worry it’s all very natural… Before we launch into these topics ,let’s get really crazy for a moment.What we’re going to talk about is naïve set theory .As oppesed to what, you might ask? Well, here’s the point.When talking about sets,we typically use the language, “The set of all……” Don’t we often talk like this? Haven’t you heard me say, ”consider the set of all integers” or “the set of all real numbers ”? Maybe I’ve even asked you to think about the “set of all differentiable functions defined on the whole real line”. Surely none of this can possibly cause any difficulties !But what if we decide to consider something really huge, like the “set of all sets”? Despite the fact that this set is really big, it shouldn’t be a problem,should it? The only immediately peculiar aspect of this set-let’s call it B (for “big”)-is that not only B… B (which is true for all set’s ), but also that B ⊂ B. Since the set {1} ⊂{1},we see that for a given set A , it may or may not happen that A ⊂ A .This leads us to consider, as did Bertrand Ilmiybaza.uz Russell ,the set of all sets which don’t contain themselves as an element:in symbols we would write this as. R={S | S ⊂ S}, This set R seems strange but is it really a problem? Well, let’s take a closer look ,asking the question ,is R є R? By looking at the definition, we see that R є R if any only if R ⊂ R! This is impossible! This is a paradox, often called Russell’s paradox (or Russsell’s Antinomy) Conclusion: Naïve set theory leads to paradoxes! So what do we do? There are basically two choices: we could be much more careful and do axiomatic set theory ,a highly formalized approach to set theory (I don’t care for the theory, myself!) but one that is free of such paradoxes. A more sensible approach for us is simply to continue to engage in naïve set theory, trying to avoid sets that seem unreasonably large and hope for the best! Nazorat uchun savоllar 1.To‘plam deganda nimani tushunasiz? 2.Bo‘sh, chekli, cheksiz to‘plamlarga misollar keltiring. 3.To‘plamlar necha xil usulda beriladi? 4.Teng to‘plamlarga ta’rif bering. 5.To‘plam osti tushunchasiga ta’rif bering va misollar keltiring. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(5-7 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (9-bet) Ilmiybaza.uz Russell ,the set of all sets which don’t contain themselves as an element:in symbols we would write this as. R={S | S ⊂ S}, This set R seems strange but is it really a problem? Well, let’s take a closer look ,asking the question ,is R є R? By looking at the definition, we see that R є R if any only if R ⊂ R! This is impossible! This is a paradox, often called Russell’s paradox (or Russsell’s Antinomy) Conclusion: Naïve set theory leads to paradoxes! So what do we do? There are basically two choices: we could be much more careful and do axiomatic set theory ,a highly formalized approach to set theory (I don’t care for the theory, myself!) but one that is free of such paradoxes. A more sensible approach for us is simply to continue to engage in naïve set theory, trying to avoid sets that seem unreasonably large and hope for the best! Nazorat uchun savоllar 1.To‘plam deganda nimani tushunasiz? 2.Bo‘sh, chekli, cheksiz to‘plamlarga misollar keltiring. 3.To‘plamlar necha xil usulda beriladi? 4.Teng to‘plamlarga ta’rif bering. 5.To‘plam osti tushunchasiga ta’rif bering va misollar keltiring. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(5-7 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (9-bet) Ilmiybaza.uz 2. David Surovski. Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (188-bet) Ilmiybaza.uz 2. David Surovski. Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (188-bet)