TO‘PLAM TUSHUNCHASI (To’plamning elimentlari. Bo’sh to’plam.Chekli va cheksiz to’plamlar, To’plamlarning berilish usullari.Teng to’plamlar. To’plam osti. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari)

Yuklangan vaqt

2024-04-11

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

18

Faytl hajmi

109,3 KB


TO‘PLAM TUSHUNCHASI To’plamning elimentlari.Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar.To’plamlarning berilish usullari. Teng to’plamla. To’plam osti. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. Reja: 1. To’plam tushunchasi 2. To’plamning elimentlari. 3. Bo’sh to’plam.Chekli va cheksiz to’plamlar 4.To’plamlarning berilish usullari.Teng to’plamlar. To’plam osti. 5. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. TO‘PLAM TUSHUNCHASI To’plamning elimentlari.Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar.To’plamlarning berilish usullari. Teng to’plamla. To’plam osti. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. Reja: 1. To’plam tushunchasi 2. To’plamning elimentlari. 3. Bo’sh to’plam.Chekli va cheksiz to’plamlar 4.To’plamlarning berilish usullari.Teng to’plamlar. To’plam osti. 5. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. Tayanch iboralar: To`plam, bo`sh to`plam, chеkli va chеksiz to`plam, to`plam osti, univеrsal to`plam. Ma’ruza matni 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Masalan, hamma natural sonlarni birgalikda qarasak, natural sonlar to‘plami hosil bo‘ladi. Bir talabalar uyida yashovchi talablarni birgalikda qarash bilan shu talabalar uyidagi talabalar to‘plamini hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi hamma nuqtalarni bitta butun deb qarash shu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plamini, maktabdagi o‘quvchilarni birgalikda qarash o‘quvchilar to‘plamini beradi va h.k. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - guruh, harflar to’plami - alfavit, qushlar to’plami - gala, qo’ylar to’plami - poda va h. k. 2. To’plamning elimentlari. Bo’sh to’plam. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning elementlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv: aA (1) a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi. aA (2) Tayanch iboralar: To`plam, bo`sh to`plam, chеkli va chеksiz to`plam, to`plam osti, univеrsal to`plam. Ma’ruza matni 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Masalan, hamma natural sonlarni birgalikda qarasak, natural sonlar to‘plami hosil bo‘ladi. Bir talabalar uyida yashovchi talablarni birgalikda qarash bilan shu talabalar uyidagi talabalar to‘plamini hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqda yotuvchi hamma nuqtalarni bitta butun deb qarash shu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plamini, maktabdagi o‘quvchilarni birgalikda qarash o‘quvchilar to‘plamini beradi va h.k. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - guruh, harflar to’plami - alfavit, qushlar to’plami - gala, qo’ylar to’plami - poda va h. k. 2. To’plamning elimentlari. Bo’sh to’plam. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning elementlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv: aA (1) a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi. aA (2) a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda   a A ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi1. a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi2. To’plamning quvvati, yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=6.3 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam quvvati deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = 7 ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = 1 ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = 3 ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = 2 ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = 0 ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit4 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va { , , } C  b d f to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «a element A to’plamga tegishli» «a element to‘plamning elementi», «a element to‘plamda mavjud» yoki «a element to‘plamga kiradi» deb o’qiladi. 1 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 3 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 4 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan.  a A  A A A A a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda   a A ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi1. a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar aA bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi2. To’plamning quvvati, yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=6.3 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam quvvati deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = 7 ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = 1 ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = 3 ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = 2 ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = 0 ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit4 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va { , , } C  b d f to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «a element A to’plamga tegishli» «a element to‘plamning elementi», «a element to‘plamda mavjud» yoki «a element to‘plamga kiradi» deb o’qiladi. 1 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p11-12,14-15 3 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 4 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan.  a A  A A A A Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. Masalan, A — juft natural sonlar to’plami bo’lsin, u holda 2∈A, 5∉A, 628∈A va 729∉A bo’ladi. 3. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz. Masalan: , , to‘plamlar chekli bo‘lib, ular mos ravishda bitta, ikkita va uchta elementlardan tuzilgan. Quyidagi , to‘plamlar cheksiz to‘plam. 4-ta’rif: Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb ataladi va bilan belgilanadi. Masalan, x2 + 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami, oydagi daraxtlar to’plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to’plami bo’sh to’plamlardir. Izoh. to‘plamda faqat har bir a elementi o‘z-o‘ziga teng, lekin har qanday ikkita boshqa-boshqa va elementni tengmas deb hisoblaymiz, bundan to‘plamning har bir elementi bu to‘plamda bir martagina olinganligi (bir martagina uchraganligi) ma’lum bo‘ladi. elementning o‘z-o‘ziga tengligi ko‘rinishda, va elementlarining har xilligi ko‘rinishda belgilanadi. Agar to‘plamning elementi to‘plamning elementiga teng, ya’ni desak, bundan bitta element ikkala to‘plamda har xil harflar bilan belgilanganligini tushunamiz. 4.To’plamlarning berilish usullari.Teng to’plamlar. To’plam osti. To'plamasosan ikki usulda beriladi: 1) Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat". Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak. A  {a} { , } B  a b { , , } a b s C  { ,1 23,..., ,...} n A  ,...,2 ,...} 6,4,2 { n B   A a b A a a a  a b b a  A a B b a  b Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. Masalan, A — juft natural sonlar to’plami bo’lsin, u holda 2∈A, 5∉A, 628∈A va 729∉A bo’ladi. 3. Bo’sh to’plam. Chekli va cheksiz to’plamlar. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz. Masalan: , , to‘plamlar chekli bo‘lib, ular mos ravishda bitta, ikkita va uchta elementlardan tuzilgan. Quyidagi , to‘plamlar cheksiz to‘plam. 4-ta’rif: Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb ataladi va bilan belgilanadi. Masalan, x2 + 4 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to’plami, oydagi daraxtlar to’plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to’plami bo’sh to’plamlardir. Izoh. to‘plamda faqat har bir a elementi o‘z-o‘ziga teng, lekin har qanday ikkita boshqa-boshqa va elementni tengmas deb hisoblaymiz, bundan to‘plamning har bir elementi bu to‘plamda bir martagina olinganligi (bir martagina uchraganligi) ma’lum bo‘ladi. elementning o‘z-o‘ziga tengligi ko‘rinishda, va elementlarining har xilligi ko‘rinishda belgilanadi. Agar to‘plamning elementi to‘plamning elementiga teng, ya’ni desak, bundan bitta element ikkala to‘plamda har xil harflar bilan belgilanganligini tushunamiz. 4.To’plamlarning berilish usullari.Teng to’plamlar. To’plam osti. To'plamasosan ikki usulda beriladi: 1) Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat". Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak. A  {a} { , } B  a b { , , } a b s C  { ,1 23,..., ,...} n A  ,...,2 ,...} 6,4,2 { n B   A a b A a a a  a b b a  A a B b a  b 2) Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi. Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida. A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin: A={ 1,2,3,4,5 } To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x £ N, x<6} bu erda N- natural sonlar to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin: A={M / | OM| =r} Ta'rif : Agar ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, bunday to'plamlarga teng to'plamlar deyiladi. Masalan: A={3,5,7,9} va B={7,3,9,5} to'plamlar bir xil elementlardan iborat, shuning uchun ular teng to'plamlardir . Teng to'plamlar tushunchasi bilan quyidagi hol bog'langan: bitta to'plamning o'zi turli xarakterli xossalari orqali berilishi mumkin. Masalan : A={1,2,3,4,5} to'plamni x<6 tengsizlikning echimi bo'ladigan natural sonlar to'plami ko'rinishida , 1 va 5 sonlari orasida yotuvchi barcha butun sonlar ko'rinishida ham berilishi mumkin. Misollar: 1) A={1,2,3,4} B={ VT,V4,V9,VT6 } A va B to'plamlar teng, ya'ni A=B 2) C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, D - bir xonali sonlar to'plami, C=D To'plamlarning tengligi quyidagi uch xossani qanoatlantiradi : 2) Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi. Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida. A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin: A={ 1,2,3,4,5 } To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x £ N, x<6} bu erda N- natural sonlar to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin: A={M / | OM| =r} Ta'rif : Agar ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, bunday to'plamlarga teng to'plamlar deyiladi. Masalan: A={3,5,7,9} va B={7,3,9,5} to'plamlar bir xil elementlardan iborat, shuning uchun ular teng to'plamlardir . Teng to'plamlar tushunchasi bilan quyidagi hol bog'langan: bitta to'plamning o'zi turli xarakterli xossalari orqali berilishi mumkin. Masalan : A={1,2,3,4,5} to'plamni x<6 tengsizlikning echimi bo'ladigan natural sonlar to'plami ko'rinishida , 1 va 5 sonlari orasida yotuvchi barcha butun sonlar ko'rinishida ham berilishi mumkin. Misollar: 1) A={1,2,3,4} B={ VT,V4,V9,VT6 } A va B to'plamlar teng, ya'ni A=B 2) C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, D - bir xonali sonlar to'plami, C=D To'plamlarning tengligi quyidagi uch xossani qanoatlantiradi : 1. Har qanday A uchun , A=A o'rinlidir ( refleksivlik) 2. Ixtiyoriy ikkita A va B to'plamlar uchun , agar A=B bo'lsa , u holda B=A (simmetriklik ) 3. Ixtiyoriy uchta A,B,C to'plamlar uchun , agar A=B va B=C bo'lsa , u holda A=C bo'ladi (tranzitivlik ). Turli xil tabiat predmetlari (harflar, nuqtalar, tenglama va hokazo) to'plam elementlari bo'lishi mumkin. Matematikada elementlari matematik ob'ektlardan (sonlar va hokazo) iborat to'plamlar asosiy rol o'ynaydi. Elementlari faqat sonlardan iborat bo'lgan to'plamga sonli to'plam deyiladi. Sonli to'plamlar quyidagicha belgilanadi: 1. Natural sonlar to'plami - N 2. Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami- Zo 3. Butun sonlar to'plami- Z 4. Ratsional sonlar to'plami- Q 5. Haqiqiy sonlar to'plami- R 6. {x/xe R va a<x<b} - [a;b]-yopiq soha (haqiqiy sonlar to'plami, a va b bilan chegaralangan kesma) 6 6 _______ _ y//////////\ _______________ ^ a b 7. {x/xe R va a<x<b}-]a;b[ - ochiq soha (xaqiqiy sonlar to'plami a va b bilan chegaralangan interval) ""X 8. {x/xe R va a<x<b}- [a;b) - yarim ochiq soha (chapdan yopiq a va b bilan chegaralangan interval ) ------------- a b ---------- 24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin. 1. Har qanday A uchun , A=A o'rinlidir ( refleksivlik) 2. Ixtiyoriy ikkita A va B to'plamlar uchun , agar A=B bo'lsa , u holda B=A (simmetriklik ) 3. Ixtiyoriy uchta A,B,C to'plamlar uchun , agar A=B va B=C bo'lsa , u holda A=C bo'ladi (tranzitivlik ). Turli xil tabiat predmetlari (harflar, nuqtalar, tenglama va hokazo) to'plam elementlari bo'lishi mumkin. Matematikada elementlari matematik ob'ektlardan (sonlar va hokazo) iborat to'plamlar asosiy rol o'ynaydi. Elementlari faqat sonlardan iborat bo'lgan to'plamga sonli to'plam deyiladi. Sonli to'plamlar quyidagicha belgilanadi: 1. Natural sonlar to'plami - N 2. Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami- Zo 3. Butun sonlar to'plami- Z 4. Ratsional sonlar to'plami- Q 5. Haqiqiy sonlar to'plami- R 6. {x/xe R va a<x<b} - [a;b]-yopiq soha (haqiqiy sonlar to'plami, a va b bilan chegaralangan kesma) 6 6 _______ _ y//////////\ _______________ ^ a b 7. {x/xe R va a<x<b}-]a;b[ - ochiq soha (xaqiqiy sonlar to'plami a va b bilan chegaralangan interval) ""X 8. {x/xe R va a<x<b}- [a;b) - yarim ochiq soha (chapdan yopiq a va b bilan chegaralangan interval ) ------------- a b ---------- 24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin. Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi. Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B Misollar: 1) B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami B ^ A ekanligini ko'rish mumkin. 2) M-uchburchaklar to'plami N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M 3) N-Natural sonlar to'plami Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning to'plam ostisidir: 0 <= A Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin: 1) A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi 2) A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi. Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0. To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz. To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi. Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B Misollar: 1) B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami B ^ A ekanligini ko'rish mumkin. 2) M-uchburchaklar to'plami N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M 3) N-Natural sonlar to'plami Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning to'plam ostisidir: 0 <= A Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin: 1) A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi 2) A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi. Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0. To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz. To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir. To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega: 1- xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi. 2- xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik) Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi To'plam , to'plam osti tushunchalari, matematik tushunchalar va geometrik figuralarni aniqlashda qo'llaniladi. Geometrik figuralar deb istalgan nuqtalar to'plamiga aytiladi. Shunday qilib, kesma, nur, tug'ri chiziq, uchburchak, aylana, kub va hokazolar geometrik figuralardir. Agar F1 figura , F2 figuraning to'plam ostisi bo'lsa, u holda F1 figura F2 ning qismi bo’ladi. 5. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. Eyler-Venn diagrammalari to'plamlarning geometrik tasviridir. Diagrammaning konstruktsiyasi U universal to'plamini ifodalovchi katta to'rtburchaklar tasviridan va uning ichida - to'plamlarni ifodalovchi doiralar (yoki boshqa yopiq figuralar) tasviridan iborat. Raqamlar muammoda talab qilinadigan eng umumiy holatda kesishishi va shunga mos ravishda etiketlanishi kerak. Diagrammaning turli sohalarida joylashgan nuqtalarni mos keladigan to'plamlarning elementlari deb hisoblash mumkin. O'rnatilgan diagramma bilan yangi tashkil etilgan to'plamlarni ko'rsatish uchun ma'lum joylarni soya qilish mumkin. Mavjudlardan yangi to'plamlarni olish uchun to'plam operatsiyalari hisoblanadi. sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir. To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega: 1- xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi. 2- xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik) Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi To'plam , to'plam osti tushunchalari, matematik tushunchalar va geometrik figuralarni aniqlashda qo'llaniladi. Geometrik figuralar deb istalgan nuqtalar to'plamiga aytiladi. Shunday qilib, kesma, nur, tug'ri chiziq, uchburchak, aylana, kub va hokazolar geometrik figuralardir. Agar F1 figura , F2 figuraning to'plam ostisi bo'lsa, u holda F1 figura F2 ning qismi bo’ladi. 5. Universal to’plam. Eyler-Venn diagrammalari. Eyler-Venn diagrammalari to'plamlarning geometrik tasviridir. Diagrammaning konstruktsiyasi U universal to'plamini ifodalovchi katta to'rtburchaklar tasviridan va uning ichida - to'plamlarni ifodalovchi doiralar (yoki boshqa yopiq figuralar) tasviridan iborat. Raqamlar muammoda talab qilinadigan eng umumiy holatda kesishishi va shunga mos ravishda etiketlanishi kerak. Diagrammaning turli sohalarida joylashgan nuqtalarni mos keladigan to'plamlarning elementlari deb hisoblash mumkin. O'rnatilgan diagramma bilan yangi tashkil etilgan to'plamlarni ko'rsatish uchun ma'lum joylarni soya qilish mumkin. Mavjudlardan yangi to'plamlarni olish uchun to'plam operatsiyalari hisoblanadi. Ta'rif. A va B to'plamlarning birlashmasi A, B to'plamlarning kamida bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plamdir . Ta'rif. A va B to‘plamlarning kesishishi bir vaqtning o‘zida A to‘plamga ham, B to‘plamga ham tegishli bo‘lgan barcha va faqat shu elementlardan tashkil topgan to‘plamdir (2-rasm): Ta'rif. A va B to'plamlarning farqi A ning B tarkibiga kirmagan barcha va faqat elementlarining to'plamidir (3-rasm): Ta'rif: A va B to‘plamlarning simmetrik farqi bu to‘plamlarning faqat A to‘plamga yoki faqat B to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlari to‘plamidir (4-rasm): Ta'rif. A va B to'plamlarning birlashmasi A, B to'plamlarning kamida bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plamdir . Ta'rif. A va B to‘plamlarning kesishishi bir vaqtning o‘zida A to‘plamga ham, B to‘plamga ham tegishli bo‘lgan barcha va faqat shu elementlardan tashkil topgan to‘plamdir (2-rasm): Ta'rif. A va B to'plamlarning farqi A ning B tarkibiga kirmagan barcha va faqat elementlarining to'plamidir (3-rasm): Ta'rif: A va B to‘plamlarning simmetrik farqi bu to‘plamlarning faqat A to‘plamga yoki faqat B to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlari to‘plamidir (4-rasm): Ta'rif. A to'plamning mutlaq to'ldiruvchisi A to'plamga kirmaydigan barcha elementlarning to'plamidir (5-rasm): Biz ikkala holatda ham teng to'plamlarni olishimizga ishonch hosil qildik. Shunday qilib, asl munosabat haqiqiydir. To‘plamlar nazariyasi elementlari. "Ostida ko'p biz sezgi yoki fikrimizning aniq, juda ajralib turadigan ob'ektlarining bir butuniga birlashishini tushunamiz" - to'plamlar nazariyasi asoschisi Georg Kantor "to'plam" tushunchasini shunday tasvirlab bergan. Kantor to'plamlari nazariyasining asosiy asoslari quyidagilardan iborat: 1° To'plam har qanday farqlanadigan ob'ektlardan iborat bo'lishi mumkin. 2° To'plam yagona tarzda uni tashkil etuvchi ob'ektlar to'plami bilan belgilanadi. 3° Har qanday xususiyat ushbu xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar to'plamini belgilaydi. Agar x ob'ekt, P xossa, P(x) - x P xossaga ega bo'lgan belgi, u holda (x|P(x)) P xossaga ega bo'lgan ob'ektlarning butun sinfini bildiradi. sinf yoki to'plam deyiladi elementlar sinf yoki to'plam. Ta'rif. A to'plamning mutlaq to'ldiruvchisi A to'plamga kirmaydigan barcha elementlarning to'plamidir (5-rasm): Biz ikkala holatda ham teng to'plamlarni olishimizga ishonch hosil qildik. Shunday qilib, asl munosabat haqiqiydir. To‘plamlar nazariyasi elementlari. "Ostida ko'p biz sezgi yoki fikrimizning aniq, juda ajralib turadigan ob'ektlarining bir butuniga birlashishini tushunamiz" - to'plamlar nazariyasi asoschisi Georg Kantor "to'plam" tushunchasini shunday tasvirlab bergan. Kantor to'plamlari nazariyasining asosiy asoslari quyidagilardan iborat: 1° To'plam har qanday farqlanadigan ob'ektlardan iborat bo'lishi mumkin. 2° To'plam yagona tarzda uni tashkil etuvchi ob'ektlar to'plami bilan belgilanadi. 3° Har qanday xususiyat ushbu xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar to'plamini belgilaydi. Agar x ob'ekt, P xossa, P(x) - x P xossaga ega bo'lgan belgi, u holda (x|P(x)) P xossaga ega bo'lgan ob'ektlarning butun sinfini bildiradi. sinf yoki to'plam deyiladi elementlar sinf yoki to'plam. Atama " kopgina" to'plam, to'plam, ba'zi elementlar to'plami tushunchalarining sinonimi sifatida ishlatiladi. Shunday qilib, biz quyidagilar haqida gapirishimiz mumkin: a) uyada ko'plab asalarilar, b) o'rnatish segment nuqtalari, c) kvadratning uchlari to'plami yoki uning tomonlari va diagonallari to'plami; d) sinfda ko'plab o'quvchilar va boshqalar. Yuqoridagi misollarda a), c)-d) hollarda mos keladigan to'plamlar ma'lum bir cheklangan miqdordagi ob'ektlardan iborat bo'lib, bunday to'plamlar deyiladi. final. Segment nuqtalari to'plamini (misol b) sanab bo'lmaydi, shuning uchun bunday to'plamlar deyiladi cheksiz. Hech qanday elementni o'z ichiga olmagan to'plam deyiladi bo'sh ko'p. To‘plamni o‘rnatishning eng oddiy shakli uning elementlarini sanab o‘tishdir, masalan A=(4, 7, 13) (A to‘plam uchta elementdan – 4, 7, 13 butun sonlardan iborat). Boshqa tez-tez ishlatiladigan topshiriq shakli to'plam elementlarining xususiyatlarini ko'rsatishdir, masalan, A = (x| x 2 ≤ 4) belgilangan shartni qanoatlantiradigan x sonlar to'plamidir. To‘plamlar odatda A, B, C, .... bosh harflar bilan, ularning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi: a, b, c, ... a ∈ A (o‘qilishi: a A ga tegishli) yoki A ∋ a yozish. (o'qing: A o'z ichiga oladi) , degan ma'noni anglatadi, a A to'plamining elementi. Bo'sh to'plam Ø bilan belgilanadi. Agar B to'plamning har bir elementi ham A to'plamning elementi bo'lsa, B to'plam deyiladi pastki to'plam A to'plamlari (notlash - B ⊆ A yoki A ⊇ B). Har bir to'plam o'zining kichik to'plamidir (bu to'plamning "eng keng" kichik to'plami). Bo'sh to'plam har qanday to'plamning kichik to'plamidir (u "eng tor" Atama " kopgina" to'plam, to'plam, ba'zi elementlar to'plami tushunchalarining sinonimi sifatida ishlatiladi. Shunday qilib, biz quyidagilar haqida gapirishimiz mumkin: a) uyada ko'plab asalarilar, b) o'rnatish segment nuqtalari, c) kvadratning uchlari to'plami yoki uning tomonlari va diagonallari to'plami; d) sinfda ko'plab o'quvchilar va boshqalar. Yuqoridagi misollarda a), c)-d) hollarda mos keladigan to'plamlar ma'lum bir cheklangan miqdordagi ob'ektlardan iborat bo'lib, bunday to'plamlar deyiladi. final. Segment nuqtalari to'plamini (misol b) sanab bo'lmaydi, shuning uchun bunday to'plamlar deyiladi cheksiz. Hech qanday elementni o'z ichiga olmagan to'plam deyiladi bo'sh ko'p. To‘plamni o‘rnatishning eng oddiy shakli uning elementlarini sanab o‘tishdir, masalan A=(4, 7, 13) (A to‘plam uchta elementdan – 4, 7, 13 butun sonlardan iborat). Boshqa tez-tez ishlatiladigan topshiriq shakli to'plam elementlarining xususiyatlarini ko'rsatishdir, masalan, A = (x| x 2 ≤ 4) belgilangan shartni qanoatlantiradigan x sonlar to'plamidir. To‘plamlar odatda A, B, C, .... bosh harflar bilan, ularning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi: a, b, c, ... a ∈ A (o‘qilishi: a A ga tegishli) yoki A ∋ a yozish. (o'qing: A o'z ichiga oladi) , degan ma'noni anglatadi, a A to'plamining elementi. Bo'sh to'plam Ø bilan belgilanadi. Agar B to'plamning har bir elementi ham A to'plamning elementi bo'lsa, B to'plam deyiladi pastki to'plam A to'plamlari (notlash - B ⊆ A yoki A ⊇ B). Har bir to'plam o'zining kichik to'plamidir (bu to'plamning "eng keng" kichik to'plami). Bo'sh to'plam har qanday to'plamning kichik to'plamidir (u "eng tor" kichik to'plam). A to'plamning boshqa har qanday kichik to'plami A to'plamining kamida bitta elementini o'z ichiga oladi, lekin uning barcha elementlari emas. Bunday kichik to'plamlar haqiqiy yoki to'g'ri to'plamlar deb ataladi. A to'plamning haqiqiy kichik to'plamlari uchun B ⊂ A yoki A ⊃ B yozuvi qo'llaniladi.Agar B ⊆ A va A ⊆ B ham bo'lsa, ya'ni B to'plamning har bir elementi A ga tegishli bo'lsa va shu bilan birga A ning har bir elementi. B ga tegishli, keyin A va B , shubhasiz, bir xil elementlardan iborat va shuning uchun mos keladi. Bunda to'plam tenglik belgisi qo'llaniladi: A = B. (∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ belgilar qo'shish belgilari deyiladi). Geometrik jihatdan to'plamlar odatda tekislikdagi ba'zi nuqtalar to'plami sifatida tasvirlanadi. Rasmlarning o'zi deyiladi Eyler-Venn diagrammasi (Eyler doiralari). Ya'ni, Eyler-Venn diagrammalari to'plamlarning geometrik tasviri yoki tushunchalar hajmlari o'rtasidagi munosabatlarning kesishuvchi konturlar (doiralar yoki ellipslar) orqali geometrik tasviri bo'lib, ingliz mantiqchisi Jon Venn (1834 - 1923) tomonidan ilgari asrning oxirida taklif qilingan. oxirgi. Mantiqiy figuralarning vizual grafik tasviriga oid ishlarida Eyler (1707 - 1783), I. Lambert (1728 - 1777), Gergon (1771 - 1859), B. Bolzano (1781 - 1781 -) tomonidan taklif qilingan bir qator grafik tizimlarga tayangan. 1848). Bu erda diagrammalarning ba'zilari. Diagrammaning qurilishi universal to'plamni ifodalovchi katta to'rtburchaklar tasviridan iborat U, va uning ichida - to'plamlarni ifodalovchi doiralar (yoki boshqa yopiq raqamlar). Raqamlar muammoda talab qilinadigan eng umumiy holatda kesishishi va shunga mos ravishda etiketlanishi kerak. Diagrammaning turli sohalarida joylashgan nuqtalarni mos keladigan to'plamlarning elementlari deb hisoblash mumkin. O'rnatilgan diagramma bilan yangi tashkil etilgan to'plamlarni ko'rsatish uchun ma'lum joylarni soya qilish mumkin. Mavjudlardan yangi to'plamlarni olish uchun to'plam operatsiyalari hisoblanadi. Ta'rif. Uyushma A va B to'plamlar A, B to'plamlarning kamida bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plam deb ataladi (1-rasm): kichik to'plam). A to'plamning boshqa har qanday kichik to'plami A to'plamining kamida bitta elementini o'z ichiga oladi, lekin uning barcha elementlari emas. Bunday kichik to'plamlar haqiqiy yoki to'g'ri to'plamlar deb ataladi. A to'plamning haqiqiy kichik to'plamlari uchun B ⊂ A yoki A ⊃ B yozuvi qo'llaniladi.Agar B ⊆ A va A ⊆ B ham bo'lsa, ya'ni B to'plamning har bir elementi A ga tegishli bo'lsa va shu bilan birga A ning har bir elementi. B ga tegishli, keyin A va B , shubhasiz, bir xil elementlardan iborat va shuning uchun mos keladi. Bunda to'plam tenglik belgisi qo'llaniladi: A = B. (∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ belgilar qo'shish belgilari deyiladi). Geometrik jihatdan to'plamlar odatda tekislikdagi ba'zi nuqtalar to'plami sifatida tasvirlanadi. Rasmlarning o'zi deyiladi Eyler-Venn diagrammasi (Eyler doiralari). Ya'ni, Eyler-Venn diagrammalari to'plamlarning geometrik tasviri yoki tushunchalar hajmlari o'rtasidagi munosabatlarning kesishuvchi konturlar (doiralar yoki ellipslar) orqali geometrik tasviri bo'lib, ingliz mantiqchisi Jon Venn (1834 - 1923) tomonidan ilgari asrning oxirida taklif qilingan. oxirgi. Mantiqiy figuralarning vizual grafik tasviriga oid ishlarida Eyler (1707 - 1783), I. Lambert (1728 - 1777), Gergon (1771 - 1859), B. Bolzano (1781 - 1781 -) tomonidan taklif qilingan bir qator grafik tizimlarga tayangan. 1848). Bu erda diagrammalarning ba'zilari. Diagrammaning qurilishi universal to'plamni ifodalovchi katta to'rtburchaklar tasviridan iborat U, va uning ichida - to'plamlarni ifodalovchi doiralar (yoki boshqa yopiq raqamlar). Raqamlar muammoda talab qilinadigan eng umumiy holatda kesishishi va shunga mos ravishda etiketlanishi kerak. Diagrammaning turli sohalarida joylashgan nuqtalarni mos keladigan to'plamlarning elementlari deb hisoblash mumkin. O'rnatilgan diagramma bilan yangi tashkil etilgan to'plamlarni ko'rsatish uchun ma'lum joylarni soya qilish mumkin. Mavjudlardan yangi to'plamlarni olish uchun to'plam operatsiyalari hisoblanadi. Ta'rif. Uyushma A va B to'plamlar A, B to'plamlarning kamida bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plam deb ataladi (1-rasm): Ta'rif. kesib o'tish A va B to‘plamlar bir vaqtning o‘zida A to‘plamga ham, B to‘plamga ham tegishli bo‘lgan barcha va faqat shu elementlardan iborat to‘plam deyiladi (2-rasm): Ta'rif. farq A va B to'plamlar - A ning B tarkibiga kirmagan barcha va faqat elementlari to'plami (3-rasm): Ta'rif. Simmetrik farq A va B to'plamlar - bu to'plamlarning faqat A to'plamga yoki faqat B to'plamga tegishli bo'lgan elementlari to'plami (4-rasm): Simmetrik farqning yana bir belgisi ham keng tarqalgan: A ∆ B, o'rniga A + B. Ta'rif. Mutlaq to'ldiruvchi A to'plam - A to'plamga kirmaydigan barcha elementlar to'plami (5-rasm): Ta'rif. kesib o'tish A va B to‘plamlar bir vaqtning o‘zida A to‘plamga ham, B to‘plamga ham tegishli bo‘lgan barcha va faqat shu elementlardan iborat to‘plam deyiladi (2-rasm): Ta'rif. farq A va B to'plamlar - A ning B tarkibiga kirmagan barcha va faqat elementlari to'plami (3-rasm): Ta'rif. Simmetrik farq A va B to'plamlar - bu to'plamlarning faqat A to'plamga yoki faqat B to'plamga tegishli bo'lgan elementlari to'plami (4-rasm): Simmetrik farqning yana bir belgisi ham keng tarqalgan: A ∆ B, o'rniga A + B. Ta'rif. Mutlaq to'ldiruvchi A to'plam - A to'plamga kirmaydigan barcha elementlar to'plami (5-rasm): Kesishish amalining xossalari: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=Ø; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A; Birlashtiruvchi operatsiya xossalari: 1) AUA=A; 2) AUØ=A; 3) AUĀ= U; 4) AUU=U; 5) AUB=BUA; Farq ish xossalari: 1) A\A= Ø; 2) A \ Ø \u003d A; 3) A\Ā= A; 4) A \ U \u003d Ø; 5) U \ A \u003d Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A; Tengliklar o‘rinli: (AUB)= A∩B; (A∩B)=AUB. Xulosa qilib, biz uchta to'plamning birlashmasidagi elementlar sonini hisoblash uchun yana bitta formula beramiz (ularning umumiy holati uchun). nisbiy pozitsiya rasmda ko'rsatilgan): m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C) 1-misol. 15 sonining barcha natural bo‘luvchilari to‘plamini yozing va uning elementlari sonini toping. 2-misol. To‘plamlar A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 , yigirma). AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D toping. Kesishish amalining xossalari: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=Ø; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A; Birlashtiruvchi operatsiya xossalari: 1) AUA=A; 2) AUØ=A; 3) AUĀ= U; 4) AUU=U; 5) AUB=BUA; Farq ish xossalari: 1) A\A= Ø; 2) A \ Ø \u003d A; 3) A\Ā= A; 4) A \ U \u003d Ø; 5) U \ A \u003d Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A; Tengliklar o‘rinli: (AUB)= A∩B; (A∩B)=AUB. Xulosa qilib, biz uchta to'plamning birlashmasidagi elementlar sonini hisoblash uchun yana bitta formula beramiz (ularning umumiy holati uchun). nisbiy pozitsiya rasmda ko'rsatilgan): m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C) 1-misol. 15 sonining barcha natural bo‘luvchilari to‘plamini yozing va uning elementlari sonini toping. 2-misol. To‘plamlar A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 , yigirma). AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D toping. AUB=(1,2,3,4,5,8,13,15,16) CUD=(0,1,12,13,15,16,20) AUBUC=(1,2,3,4,5,8,12,13,15,16) BU(D∩C)=(1,3,4,8,16) (A∩C)\D= (13.15) 3-misol. Maktabda 1400 nafar o‘quvchi bor. Ulardan 1250 tasi chang'i, 952 tasi konkida ucha oladi. 60 nafar talaba chang'i yoki konkida ucha olmaydi. Qancha talaba konkida uchishi va chang'i uchishi mumkin? A∩B - chang'i yoki konkida ucha olmaydigan talabalar to'plami. m(A∩B)=60 faraziga ko‘ra, (AUB)=A∩B, keyin m((AUB))=60 tengligidan ham foydalanamiz. Shunday qilib, m(AUB)=m( U)-m((AUB))=1400-60=1340. m(A)=1250, m(B)=952 shart bo‘yicha m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952- 1340=862 ni olamiz. 4-misol. 25 nafar talabadan iborat guruh imtihon sessiyasini quyidagi natijalar bilan topshirdi: 2 nafari faqat “a’lo”; 3 kishi a'lo, yaxshi va qoniqarli baholarga ega bo'ldi; 4 kishi faqat "yaxshi"; 3 kishi yaxshi va qoniqarli baholar oldi. Sessiyani faqat AUB=(1,2,3,4,5,8,13,15,16) CUD=(0,1,12,13,15,16,20) AUBUC=(1,2,3,4,5,8,12,13,15,16) BU(D∩C)=(1,3,4,8,16) (A∩C)\D= (13.15) 3-misol. Maktabda 1400 nafar o‘quvchi bor. Ulardan 1250 tasi chang'i, 952 tasi konkida ucha oladi. 60 nafar talaba chang'i yoki konkida ucha olmaydi. Qancha talaba konkida uchishi va chang'i uchishi mumkin? A∩B - chang'i yoki konkida ucha olmaydigan talabalar to'plami. m(A∩B)=60 faraziga ko‘ra, (AUB)=A∩B, keyin m((AUB))=60 tengligidan ham foydalanamiz. Shunday qilib, m(AUB)=m( U)-m((AUB))=1400-60=1340. m(A)=1250, m(B)=952 shart bo‘yicha m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952- 1340=862 ni olamiz. 4-misol. 25 nafar talabadan iborat guruh imtihon sessiyasini quyidagi natijalar bilan topshirdi: 2 nafari faqat “a’lo”; 3 kishi a'lo, yaxshi va qoniqarli baholarga ega bo'ldi; 4 kishi faqat "yaxshi"; 3 kishi yaxshi va qoniqarli baholar oldi. Sessiyani faqat “a’lo”, “yaxshi” deb topshirgan talabalar soni sessiyani faqat “qoniqarli” deb topshirgan talabalar soniga teng. Faqat a'lo va qoniqarli baholar olgan talabalar yo'q. Qoniqarli yoki yaxshi belgilar 22 nafar talaba qabul qilindi. Qancha talaba imtihonga kelmagan? Qancha talaba sessiyani faqat “qoniqarli” ball bilan o‘tdi?x . Keyin shartdan biz olamiz Imtihonga kelmagan talabalar sonini quyidagicha topish mumkin: Javob: 6 nafar talaba faqat “qoniqarli” ball oldi, 1 nafar talaba imtihonlarga kelmadi. Nazorat uchun savоllar 1.To‘plam deganda nimani tushunasiz? 2.Bo‘sh, chekli, cheksiz to‘plamlarga misollar keltiring. 3.To‘plamlar necha xil usulda beriladi? 4.Teng to‘plamlarga ta’rif bering. 5.To‘plam osti tushunchasiga ta’rif bering va misollar keltiring. Mustaqil ta’lim mavzulari 1. To`plam osti. 2. Univеrsal to`plam. Nazorat savollari Matnni toldiring: 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning ………. tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - ………, harflar to’plami - …….., qushlar to’plami - ……., qo’ylar to’plami - …….. va h. k. “a’lo”, “yaxshi” deb topshirgan talabalar soni sessiyani faqat “qoniqarli” deb topshirgan talabalar soniga teng. Faqat a'lo va qoniqarli baholar olgan talabalar yo'q. Qoniqarli yoki yaxshi belgilar 22 nafar talaba qabul qilindi. Qancha talaba imtihonga kelmagan? Qancha talaba sessiyani faqat “qoniqarli” ball bilan o‘tdi?x . Keyin shartdan biz olamiz Imtihonga kelmagan talabalar sonini quyidagicha topish mumkin: Javob: 6 nafar talaba faqat “qoniqarli” ball oldi, 1 nafar talaba imtihonlarga kelmadi. Nazorat uchun savоllar 1.To‘plam deganda nimani tushunasiz? 2.Bo‘sh, chekli, cheksiz to‘plamlarga misollar keltiring. 3.To‘plamlar necha xil usulda beriladi? 4.Teng to‘plamlarga ta’rif bering. 5.To‘plam osti tushunchasiga ta’rif bering va misollar keltiring. Mustaqil ta’lim mavzulari 1. To`plam osti. 2. Univеrsal to`plam. Nazorat savollari Matnni toldiring: 1. To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning ………. tushunchalaridan biri bo’lib, u ta’riflanmaydi va misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar, ob’ektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarashga tushuniladi. Hayotda to’plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to’plami - ………, harflar to’plami - …….., qushlar to’plami - ……., qo’ylar to’plami - …….. va h. k. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning …………… deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, ……… alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning ………. harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plamning ………….., yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=…...5 If A is a finite set, we shall denote by |A| the number of elements in A. We often call |A| the cardinality or order of the set A. 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam ………… deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = ….. ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = …… ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = ….. ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = …… ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = ……. ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit6 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va C {.............} to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «………………………………..» «……………………………………», «……………………………………………» yoki «………………………………………….» deb o’qiladi. Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 5 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 6 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan. A 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar – bu to‘plamning …………… deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi o‘quvchilar, talabalar, natural sonlar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, ……… alfavitining katta harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning ………. harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To’plamning ………….., yoki cardinal son tushunchasi to’plam elementlari sonini bildiradi. Har qanday n elementli A to’plam elemementlari soni |A|=n kabi belgilanadi. Bizning misolimizda |A|=…...5 If A is a finite set, we shall denote by |A| the number of elements in A. We often call |A| the cardinality or order of the set A. 2-ta’rif. Chekli to`plamning elementlar soniga to`plam ………… deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, { , , , , , , } A  a b c d e f g to`plamning quvvati n(A) = ….. ga, B  {a} to`plamning quvvati n(B) = …… ga, { , , } C  b d f to`plamning quvvati n(C) = ….. ga, { , } D  a g to`plamning quvvati n(D) = …… ga, bo`sh to`plamning quvvati n() = ……. ga teng. Cheksiz to`plamlarning quvvati transfinit6 sonlarda ifodalanadi. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo’lgan to`plamlar teng quvvatli to`plamlar deyiladi. Masalan, { , , } A  a b c va C {.............} to`plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To’plam elementi, ya’ni a element to‘plamning elementi ekanligi a∈A ko’rinishda yoziladi va «………………………………..» «……………………………………», «……………………………………………» yoki «………………………………………….» deb o’qiladi. Agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa, a∉A yoki a∈̅A ko’rinishda yoziladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 5 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 188 -bet 6 Transfinitsonlar haqida ma`lumotlar “Ikki to`plam elementlari orasidagi moslik” mavzusida keltirilgan. A 1 .Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент, «Укитувчи», 1991. Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова, Задачник практикум по математики. М. «Просвещение»,1985. Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Тошкент. «У китувчи», 1995. Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика. М. «Просвещение», 1977 Н.Я.Виленкин. Рассказы о множествах. М.1962 Л.А.Колужнин. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М. «Просвещение»,1978. Ф.М.Косимов, П.Ёкубов. Тупламлар назарияси элементлари. Бухоро. 1991. David Surovski. Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (188-bet) 1 .Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент, «Укитувчи», 1991. Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова, Задачник практикум по математики. М. «Просвещение»,1985. Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Тошкент. «У китувчи», 1995. Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика. М. «Просвещение», 1977 Н.Я.Виленкин. Рассказы о множествах. М.1962 Л.А.Колужнин. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М. «Просвещение»,1978. Ф.М.Косимов, П.Ёкубов. Тупламлар назарияси элементлари. Бухоро. 1991. David Surovski. Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (188-bet)