TO‘PLAMLARNI SINFLARGA AJRATISH REJA: 1. To’plamlarning dekart ko’paytmasi. 2. To’plamlar ustidagi amallarning xossalar. 3.To’plamlarni sinflarga ajratish. 4. To’plamlarni o’zaro kesishmaydigan to’plam ostilariga (sinflarga) ajratish tushunchasi. 5. To’plamni sinflarga ajratishning ahamiyati. Tayanch iboralar: to’plamning dekart ko’paytmasi, sinflar, kesishms, birlashma, amallar. To‘plamlarning dekart (to‘g‘ri) ko‘paytmasi. va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi deb shunday to‘plamga aytiladiki, u to‘plam elementlari tartiblangan juftliklardan iborat bo‘lib, bu juftni birinchisi to‘plamdan, ikkinchisi esa to‘plamdan olinadi. To‘g‘ri ko‘paytma ko‘rinishda belgilanadi. Misol: va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. U holda va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi quyidagicha bo‘ladi: Agar biz to‘g‘ri ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtani abssissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu to‘g‘ri ko‘paytma tekislikdagi nuqtalar to‘plamini ifodalaydi. Boshqacha aytganda haqiqiy sonlar to‘plami ni ga to‘g‘ri ko‘paytmasi ni tasvirlaydi. Ta’rif. A va B to’plamlarning dekart ko’paytmasi deb, 1-elementi A to’plamdan, 2-elementi B to’plamdan olingan (a; b) ko’rinishdagi barcha tartiblangan juftliklar to’plamiga aytiladi. Dekart ko’paytma A ×B ko’rinishda belgilanadi: A×B = {(a; b) | a∈A va b∈B}. A B ( , ) x y A B B A } 7,5,4 A  { } 4,3,2,1 B { A B {( ;4 1),( 2;4 ),( 3;4 ),( 4;4 ),( ;5 1),( 2;5 ),( 3;5 ),( 4;5 ),( ;7 1),( 2;7 ),( 3;7 ),( 4;7 )}    B  A ( , ) x y x y R R RR Masalan: A = {2; 3; 4; 5}, B = {a; b; c} bo’lsa, A × B = {(2; a), (2; b),(2; c),(3; a),(3; b),(3; c),(4; a),(4; b),(4; c),(5; a), (5; b),(5; c)} bo’ladi. Sonli to’plamlar dekart ko’paytmasini koordinata tekisligida tasvirlash qulay. Masalan, A = {2; 3; 4}, B = {4; 5} bo’lsin, u holda A × B = {(2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5); (4; 4), (4; 5)} bo’ladi. Koordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki, bunda A to’plam Ox o’qida va B to’plam Oy o’qida olinadi. A={-2;2}; B=R A=[-2;4]; B=R Dekart ko’paytmaning xossalari: 1°. A×B≠B×A. 2°.A ×(B∪C) = (A×B)∪(A×C). 3°. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C). 3 We have already encountered an elementary construction on a given set: that of the power set. That is, if S is a set, then 2S is the set of all subsets of the set S. Furthermore, we saw in the theorem on page 189 that if S is a finite set containing n elements, then the power set 2S contains 2n elements (which motivates the notation in the first place!). Next, let A and B be sets. We form the Cartesian product A × B to be the set of all ordered pairs of elements (a, b) formed by elements of A and B, respectively. More formally, A × B = {(a, b) | a ∈ A and b ∈ B}. From the above, we see that we can regard the Cartesian plane R2 as the Cartesian product of the real line R with itself: R2 = R × R. Similarly, Cartesian 3-space R3 is just R × R × R. Ikkitadan ortiq to’plamlarning dekart ko’paytmasini ham qarash mumkin. Umumiy holda A 1 A 2 ..., A n to’plamlar berilgan bo’lsin. Ularning dekart ko’paytmasi A 1×A 2×...,×A n= {(a 1 a 2; ..., a n) | a 1∈A 1,a2∈A2, ..., an∈An dan iborat bo’ladi. (a 1; a2; ..., an) tartiblangan n lik deyiladi. (Masalan, uchlik, to’rtlik va h.k.). bunday tartiblangan n lik n o’rinli kortej deb ham ataladi. Yana n o’rinli kortejlar faqat bitta to’plam elementlaridan tuzilgan bo’lishi ham mumkin, bu holda u to’plamni o’z- o’ziga n marta dekart ko’paytmasi elementidan iborat bo’ladi. Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy sonlar to’plami R ni o’ziga-o’zining dekart ko’paytmasi R2=R×R, koordinata fazosini R3 =R×R×R deb qarash mumkinligi kelib chiqadi.1 A va B to’plamlarning to’g’ri (dekart) ko’paytmasi 𝐴 × 𝐵 ko’rinishida belgilanib, u quyidagicha aniqlanadi: 1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 195 -bet 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎𝜖𝐴, 𝑏𝜖𝐵}. Masalan,1. {1,3} × {𝑎, 𝑐} = {(1, 𝑎), (1, 𝑐), (3, 𝑎), (3, 𝑐)}. 2. 𝑁 × 𝑁 = {(𝑚, 𝑛): 𝑚, 𝑛𝜖𝑁}. 2 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 to’plamlarning to’g’ri (dekart) ko’paytmasi 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 esa quyidagicha aniqlanadi: 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛): 𝑎𝑖𝜖𝐴𝑖, 𝑖 = 1, … 𝑛}. Agar bu to’plamlar bir-biriga teng bo’lsa, 𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴 ni 𝐴𝑛 ko’rinishida yozishimiz mumkin, ya’ni 𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴 = 𝐴𝑛, shuningdek n=1 hol uchun 𝐴 = 𝐴1 tenglikka ega bo’lamiz. Agar 𝐴 × 𝐵 dagi binar munosabat f uchun 𝑎𝑓𝑏 va 𝑎𝑓𝑠 dan 𝑎 = 𝑠 kelib chiqsa, u holda A to’plamni B to’plamga o’tkazuvchi funktsiya (akslantirsh) berilgan deyiladi. Odatda 𝑎𝑓𝑏 ni 𝑓(𝑎) = 𝑏 ko’rinishda belgilaymiz. 3 1.To‘plamlarni sinflarga ajratish. Ta’rif: to‘plam quyidagi 2 shartni qanoatlantirsa u sinflarga ajratilgan deyiladi. 1) qism to‘plamlar jufti-jufti bilan o‘zaro kesishmasa, ya’ni , bu yerda va ; 2) qism to‘plamlarning birlashmasi to‘plam bilan mos tushsa ya’ni 2 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p19-22, 27 3 Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p19-22, 27 A ,... ,..., , 2 1 Аn А A ,... ,..., , 2 1 Аn А A j   i A  A 2,1 ,..., ,... , n i j  j i  ,..... ,......., , 2 1 Аn A А A ... ... 2 1     Аn A A  A To‘plamlarni sinflarga ajratish masalasi klassifikatsiya deyiladi. Klassifikatsiya – bu sinf ichida ob’ektlarning o‘xshashligi va ularning boshqa sinflardagi ob’ektlardan farq qilishi asosida sinflar bo‘yicha ob’ektlarni ajratish amalidir. Agar yuqoridagi shartlardan aqalli bittasi bajarilmasa, klassifikatsiya noto‘g‘ri hisoblanadi. Masalan: uchburchaklarning to‘plamini uchta sinfga ajratish mumkin: o‘tkir burchakli, to‘g‘ri burchakli, o‘tmas burchakli uchburchaklar. Haqiqatan ham, ajratilgan to‘plam ostilari jufti-jufti bilan kesishmaydi. Boshqacha aytganda, birinchidan, o‘tkir burchakli uchburchaklar ichida o‘tmas va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va o‘tmas burchakli uchburchaklar yo‘q, shuningdek o‘tmas burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q. Ikkinchidan, o‘tkir, to‘g‘ri va o‘tmas burchakli uchburchaklar birlashmasi uchburchaklar to‘plami to‘plam bilan mos tushadi. To‘plamlarni sinflarga ajratishda sinflar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Masalan: Natural sonlar to‘plamini bir necha usul bilan sinflarga ajratish mumkin. 1. toq va juft sonlar sinfi; 2. tub va murakkab sonlar sinfi; 3. bir xonali, ikki xonali, uch xonali,…,xonali sonlar sinfi: Bunda 1. va 2. holda sinflar soni chekli; 3.- holda sinflar soni cheksiz. Shuning bilan birga berilgan to‘plamning har qanday qism to‘plamlari sistemasi ham to‘plamni sinflarga ajratishni ifodalayvermasligini qayd qilish kerak. Masalan: uchburchaklar to‘plamidan, teng yonli, teng tomonli, turli tomonli uchburchaklar to‘plam ostilarini olsak, u holda u to‘plamni sinflarga ajrata olmaydi, chunki birinchi shart bajarilmaydi. Chunki teng yonli va teng tomonli uchburchaklar to‘plami ostilari kesishadi, ya’ni hamma teng tomonli uchburchaklar teng yonli uchburchaklardir. A A A A 2.To’plamlarni bitta, ikkita va uchta xossaga ko’ra sinflarga ajratish To‘plamlarni qism to‘plamlarga ajratish uchun, qism to‘plam elementlarini xarakteristik xossalarini ko‘rsatish kerak. To‘plamlarni bitta, ikkita, uchta xossasiga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. Aytaylik, to‘plam va biror xossa berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossaga ega bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holda to‘plam o‘zaro kesishmaydigan ikkita va to‘plam ostilarga ajraladi. B to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lgan elementlari to‘plami, to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lmagan elementlari to‘plami va Agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi, agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lmasa bo‘ladi. Agar va to‘plamlar bo‘sh bo‘lmasa, u holda to‘plamni Eyler Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlash mumkin. (9-chizma) 9-chizma Masalan: – auditoriyadagi talabalar to‘plami, -sinovlarni topshirganlik xossasi bo‘lsa, -sinovlarni topshirgan, esa sinovlarni topshirmagan talabalar to‘plami bo‘ladi. Endi to‘plamni ikkita xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossalarga ega bo‘lishi, bo‘lmasligi ham mumkin. a) xossaga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 1 sinf; A  A  A B C A  C A  A C B   С   В A  C   A    B B C A A  B C A , A  ,   b) xossaga ega bo‘lmagan va xossaga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 2 sinf; v) va xossalarga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 3 sinf; g) va xossalarga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 4 sinf. Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 4 ta sinf Eyler-Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlanadi. (10-chizma) 10-chizma To‘plamni 3 ta xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. A to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam xossalarga ega bo‘lishi ham bo‘lmasligi ham mumkin. Bu uchta xossa to‘plamni sakkizta sinfga ajratishi mumkin. a) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 1 sinf; b) va xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 2 sinf; v) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 3 sinf; g) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 4 sinf; d) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 5 sinf; e) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘plam – 6 sinf; j) va xossalarga ega bo‘lgan to‘plam – 7 sinf; z) va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 8 sinf. 11-chizma          , , A    , , A   ,      , ,    , ,  ,   ,a   Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 8 ta sinf 11- chizmada tasvirlangan. Nazorat uchun savollar. “Baliq skeleti” ni to`ldiring: I variant II variant R={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} to`plam A, B, C qism to`plamlarga ajratilgan. Qaysi holda klassifikatsiya to`g`ri bajarilgan: a) A={1; 3; 5;}, B={2; 4; 6; 8}, C={7; 9} b) A={5}, B={3; 4; 8; 9}, C={1; 6} R={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} to`plam A, B, C qism to`plamlarga ajratilgan. Qaysi holda klassifikatsiya to`g`ri bajarilgan: a) A={1; 3; 5}, B={2; 4; 6; 8}, C= {5; 7; 9} b) A={1; 5}, B={4; 6; 8}, C={5; 6; 9} Adabiyotlar ro’yxati: 1.Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(13-17 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar TO`PLAM 2.Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (18-22 bet) 3.Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(12-13) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet(16-17 bet) 2. David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s.(195 bet) 3. Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, p.p (19-22, 27).