Ilmiybaza.uz Topologik fazoda ajrimlilik aksiomalari. 𝐓𝟎, 𝐓𝟏, 𝐓𝟐, 𝐓𝟑, 𝐓𝟑 𝟐 𝐯𝐚 𝐓𝟒 fazolar REJA: 1.𝑇0 va 𝑇1 fazolar. 2. 𝑇3 2 , 𝑇3, 𝑇4 fazolar. 3.Berilgan fazoga oid masalar yechish. Ilmiybaza.uz Bizga X topologik fazo va ixtiyoriy x,y nuqtalar berilgan bo`lsin. 1-Ta`rif.X topologik fazoda ∀ x,y nuqtalar uchun x ning shunday 𝑈𝑥 mavjud bo`lib y∉𝑈𝑥 bo`lsa 𝑇0 aksioma bajarilgan deyiladi. 𝑇0 aksioma o`rinli bo`lgan fazo Kolmagarov fazosi yoki 𝑇0 fazo deyiladi. 1-Misol. Haqiqiy sonlar to‘plami R' ni olaylik. Bu haqiqiy to‘g‘ri chiziqda topologiya bazasi sifatida a< 𝑥 ≤ +∞ nurlarni olamiz. Bu ko‘rinishdagi nurlar bazaning shartlarini qanoatlantiradi. Bunday baza 𝑅1da topologiya tashkil qiladi. Bu topologik R' fazo 𝑇0 aksiomasini qanoatlantiradi, lekin 𝑇1 fazo bo‘la olmaydi. Agar turli ikki 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑅1 haqiqiy sonlarni olsak, ravshanki, bir vaqtda ikkinchisini o‘zida saqlamaydigan 𝑥1, va 𝑥2nuqtalarning birorta atrofitopilmaydi.Demak,bunday topologiyali R' fazo Kolmogorov fazosi bo‘ladi. Izoh.Shunday topologik fazolar mavjudki,u ajrimlilikning nolinchi aksiomasini qanoatlantirmaydi. 2-Misol:Ikkita elementdan iborat bo`lgan X{a,b}to`plamni qaraylik. Bu to`plamda quyidagicha topologiya kiritamiz 𝜏 = {∅; 𝑋} ravshanki (×; 𝜏) juftlik topologik fazo tashkil qiladi.Bu topologik fazo 𝑇0 fazo bo`lmaydi. 3-Misol.X=R x=2 y=2.1 𝑇0 fazo tashkil etadimi. 𝑈𝑥=2,1∉ (1.9;2.01) 𝑇0 bo`ladi. 4-Misol. X={a;b} to`plam berilgan bo`lsin. 𝜏1 = {𝑋; ∅} dan (X, 𝜏1} bo`lsa x=a∈X=b∈ 𝑈𝑥 y=b∈X=a∈ 𝑈𝑥 𝑇0 fazo tashkil etmaydi. 2-Ta`rif.Ixtiyoriy ikkita turli x va y nuqtalar uchun x nuqtaning shunday 0x atrofi topilib y nuqtani o`z ichiga olmasa va y nuqtaning shunday oy atrofi topilib x nuqtani o`z ichiga olmasa bunday fazo ajrimlilikning 1-aksiomasini qanoatlantiradi Ilmiybaza.uz deyiladi.ya`ni X topologik fazoda ∀𝑥, 𝑦 nuqtalar ∃𝑈𝑥 𝑈𝑦 atrofi mavjud bo`lib x∉𝑈𝑦 y∉𝑈𝑥 bo`lsa 𝑻𝟏 aksioma bajarilgan deyiladi. 𝑇`1 aksioma bajarilgan fazo Txonov fazosi deyiladi. Ajrimlilikning birinchi aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazolarga 𝑻𝟏 fazolar deyiladi. 𝑻𝟏 𝒇𝒂𝒛𝒐 𝒅𝒐𝒊𝒎 𝑇0 bo`ladi,teskarisi doim o`rinli emas. Izoh.shunday 𝑇0-topologik fazo mavjudki u 𝑻𝟏-fazo bo`lmaydi. 5-Misol.Bizga ikkita nuqtadan iborat X={a,b}to`plam berilgan bo`lsin. Bu to`plamda quyidagicha topologiya kiritamiz. Bu topologiya fazoning 𝑇0 fazo bo`lib, 𝑻𝟏-fazo bo`lmasligini osongina tekshirish mumkin. 6-Misol.X=R x=3 y=3,5 bo`lsa 𝑻𝟏 fazo tashkil etadimi? x=3 y=3,5 𝑈𝑥 =(2;3,2) 𝑈𝑦=(3,1;4) 𝑻𝟏 fazo bo`ladi. 3-Ta’rif. X topologik fazoda ∀𝑥, 𝑦 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 ∃𝑈𝑥 𝑈𝑦 atrofi mavjud bo`lib 𝑈𝑥 ∩ 𝑈𝑦 = ∅ bo`lsa 𝑇2 aksioma bajarilgan deyiladi. 𝑇2 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚𝑎 bajarilgan fazo Xausdorf fazosi yoki 𝑇2 fazo deyiladi. Ajrimlilikning ikkinchi yoki Xausdorif aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazolarga 𝑇2-fazolar yoki Xausdorf fazolar deyiladi. Barcha 𝑇2 -fazolarning 𝑻𝟏-fazo bo`lishini osongina isbotlash mumkin . Izoh.shunday topologik 𝑻𝟏-fazo mavjudki u 𝑇2 fazo bo`lmaydi.Место для уравнения. 3-Ta`rif. Agar ixtiyoriy x𝜖𝑋nuqta va bu nuqtani o`z ichiga olmaydigan ixtiyoriy F⊂X yopiq to`plam uchun shunday Ox va 0F atroflar topilib 0𝑥 ∩ 0𝐹 = ∅ shart bajarilsa, u holda (×; 𝜏)topologik fazoga ajrimlilikning uchinchi aksiomasi yoki 𝑇3-aksiomani qanoatlantiradi deyiladi. Agar X topologik fazo X bir vaqtda ham 𝑇1 fazo, ham 𝑇3 fazolar bo‘lsa, u holda u regulyar fazo deyiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, regulyar fazo Xausdorf fazosi bo‘lar ekan. Lekin buning aksi doimo o‘rinli emas. Regulyar fazolarga ixtiyoriy metrik fazolar misol bo'ladi, xususiy holda 𝑅1 fazo ham regulyar fazodir. 7-misol.Aytaylik, X barcha haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat Ilmiybaza.uz bo'lib, 𝜏 topologiya atroflar natijasida aniqlangan bo‘lsin. Bu topologiyada nol nuqtadan boshqa barcha nuqtalaming atrofi, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtaning interval ko‘rinishidagi atrofini olamiz. Nol nuqtaning atrofi deb uning to‘g‘ri chiziqdagi interval ko'rinishdagi atrofidan sonlar o‘qining { 1 𝑛 ; 𝑛𝜖𝑁} nuqtalari chiqarib tashlangan to‘plamlarini olamiz. Ya’ni, u (0) = (а,b)\{ 1 𝑛 ; 𝑛 ∈ 𝑁} ixtiyoriy 0∈ (𝑎, 𝑏)𝜖𝑅 Agar A ={ 1 𝑛 ; 𝑛 ∈ 𝑁}to‘plamni olsak, A to‘plam sonlar o‘qida yopiq to‘plamlardir. Nol nuqta va A to‘plam bu yerda o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lmaydi. Ya’ni, shunday aniq atroflar mavjud emas. Bu fazoning regulyar fazo emasligini ko‘rsatadi. Lekin bu fazoda ixtiyoriy ikki har xil nuqta o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega. Demak bu topologik fazo Xausdorf fazosi ekan. Endi elementlari soni ikkitadan ortiq to'plamlardagi trivial topologiyani ko'rsak, bu fazolar 𝑇3fazoga sodda misol bo‘la oladi, lekin ular regulyar fazo emas, chunki bunday fazolar 𝑇1fazo emasdir. 4-Ta’rif. Agar fazoning ixtiyoriy 𝑥0 nuqtasi va bu nuqtani o‘zida saqlamaydigan bo‘sh boimagan F yopiq to‘plam funksional ayri bo‘lsa, X topologik fazo 𝑇3 2fazo deyiladi. Agar X topologik fazo bir vaqtda ham 𝑇1 fazo, ham 𝑇3 2 fazo bo‘lsa, uni Tixonov fazosi yoki to‘kis regulyar (butkul regulyar) fazo deyiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, Tixonov fazosi regulyar fazo bo‘ladi. Har bir metrik fazo, xususiy holda 𝑅𝑛 fazo ham, Tixonov fazosi bo’ladi Tixonov fazolarining xossalaridan biri - bu fazo ham nasliy xususiyatga ega, ya’ni bu fazoning ixtiyoriy to‘plamostisi ham Tixonov fazosi bo‘lishidir. Shuni ta’kidlash mumkinki, har bir egallangan (marraviy), fazo to‘la regulyar fazo bo‘lishi uchun ixtiyoriy 𝑥0 ∈ 𝑋nuqtasi va uning ixtiyoriy ochiq atrofi U uchun f : X →[0,l] , f( 𝑥0)= 0 , f ( X \ U ) = 1 shartlarni qanoatlantiruvchi shunday uzluksiz funksiyaning mavjud bo‘lishi zarur va yetarlidir. Topologik fazolaming muhim sinflaridan yana biri normal topologik fazolar deyiladi. Ilmiybaza.uz 5-Ta’rif. Agar X fazoning ixtiyoriy ikki bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan yopiq 𝐹1 va 𝐹2 to‘plamlarining o‘zaro kesishmaydigan U(𝐹1) va U(𝐹2) ochiq atroflari mavjud bo‘lsa, X topologik fazo 𝑇4 fazo deyiladi. Agar X topologik fazo bir vaqtda ham 𝑇1 , ham 𝑇4 fazo bo‘lsa, bunday topologik fazolarga normal topologik fazolar deyiladi. Ta’rifdan ma’lum bo‘ladiki, normal topologik fazolar regulyar va to‘la regulyar fazo bo‘ladi. Buning teskarisi o‘rinli bo‘lavermaydi. 𝑇1 fazolar sinfi ichidagi 𝑇3 2 fazolar sinfi 𝑇3 fazolar sinfi bilan 𝑇4 fazolar sinfi orasidagi oraliq sinfdir. Shu sababli belgilashlarda ham butkul regulyar fazolar sinfi𝑇3 2 bilan belgilanadi. Yuqoridagi topologik fazolarga o‘xshab, normal fazolar sinfi nasliy xususiyatga ega emas, ya’ni bu fazolaming ixtiyoriy to‘plamostisi normal fazo bo‘lavermaydi. Normal fazolar sinfida uzluksiz akslantirishlarning bir oilasi mavjud bo‘lib, bu uzluksiz akslantirishlar o‘lcham nazariyasi va topologiyaning boshqa deyarli barcha jabhalarida figuralarning geometrik xossalari bilan bog’liq muammolarida va funksiyalarni davomlashtirish masalalarini yechishda,fazoning gomologik o’lchamini aniqlashda muhim ahamiyatga ega.