Uzatish funksiyalari. Tipik kirish signallari. Chastotaviy xarakteristikalar. Vaqt xarakteristikalari. Uzatish funksiyalari Bir o‘lchamli uzluksiz statsionar chiziqli sistemaning differensial tenglamasini umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin:                    ( ) ... ( ) ... 1 1 1 0 1 1 1 0 b x t dt x b d dt b d x a y t dt y a d dt d y a m m m m m n n n n n . (4.1) Система ёки звенонинг узатиш функияси деб – бошланғич шартлари нол бўлганида чиқиш сигналининг Лаплас тасвирини кириш сигналининг Лаплас тасвири сигнали нисбатига айтилади. (4.1)-тенгламани Лаплас тасвири бўйича ўзгартирамиз, бунинг учун дифференциал тенгламада dt d операторни «p» комплекс ўзгарувчи билан алмаштирамиз ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( 1 1 0 1 1 0 x p b b p b p y p a a p a p m m m n n n          . (4.2) Узатиш функциясининг таърифига мувофиқ W(p)ни қуйидаги кўринишда ифодалаш мумкин ) ... ( ) ... ( ) ( ( ) ) ( 1 1 0 1 1 0 0 n n n m m m t a a p p a b b p p b p x y p W p            . (4.3) ёки ) ( ( ) ( ) p Q P p W p  бунда m m m m b b p b p b p P p        ... ) ( 2 2 1 1 0 - m даражали кўпҳад; n n n n a a p a p a p Q p        ... ) ( 2 2 1 1 0 - n даражали кўпҳад. Системани амалга ошириш учун n m  шарт бажарилиши керак. Шундагини система ишлаши мумкин. 2 (4.3) тенгламага мувофиқ звено ёки системанинг чиқиш сигналининг Лаплас тасвири ( ) ( ) ( ) x p W p y p   . (4.4) Энди звено ёки системанинг узатиш W(p) функцияси билан ўткинчи функцияси h(t) ҳамда импульсли ўткинчи функцияси (t) орасидаги боғланишни кўриб чиқамиз (4.5-расм). 4.5 – расм а) Агар кириш сигнали x(t)=1(t) бўлса, унда унинг Лаплас тасвири p x t 1 ( )  бўлади. (4) формулага мувофиқ чиқиш сигналининг Лаплас тасвири p W p y p ( ) 1 ( )   га тенг бўлади. Бундан оригинал функцияга ўтсак           p W p L h t y t ( ) 1 ( ) ( ) 1 бўлади. Демак, ўткинчи функция h(t) билан узатиш функцияси W(p) бир маъноли боғланган экан. б) Агар x(t)=(t) бўлса, унда x(p)=1 бўлади. (4.4) формулага мувофиқ чиқиш сигналининг Лаплас тасвири y(p)=W(p) бўлиб, унинг оригинали импульсли ўткинчи функция бўлади, яъни  ) ( ( ) ( ) 1 W p L t y t     . Демак, импульсли ўткинчи функция (t) узатиш функциясининг оригинали экан. Энди узатиш функциясининг моҳиятини аниқ мисолда кўриб чиқамиз. 1-мисол. RC занжири берилган бўлсин (4.6-расм). Шу занжирининг узатиш функцияси W(p)ни топиш керак. R C Zk Zч x(t) y(t) W(p) 3 1 ; ) ( 1 ; ) ( pC p Z pC R p Z ч k    1 1 1 1 1 1 ( )        Tp RCp pC R pC Z Z p W k ч . Бунда T = RC – вақт доимийлиги. 2-мисол. СR занжири берилган бўлсин (4.7-расм). Шу занжирнинг узатиш функцияси W(p)ни топиш керак. ; ) ( ; 1 ) ( R p Z R pC R p Z ч k     Tp Tp RCp RCp R pC R Z Z p W k ч        1 1 1 ( ) . Бу ерда T = RC – вақт доимийлиги. Типик кириш сигналлари Системада бўлаётган жараённи ўрганиш учун уни ифода этувчи дифференциал тенгламанинг ечимини ёки бу тенгламани қандайдир йўл билан топиш керак. Zk Zч 4.7-расм C R 4 Бунинг учун кириш сигнали вақтга боғлиқ бўлиши шарт. АБСларида x(t) ва f(t) сигналларини кириш сигналлари дейилади, y(t) ни чиқиш сигнали ёки кириш сигналидан олинган реакция деб аталади. 4.1 – расм. Системанинг динамик хусусиятларини аниқлаштиришда қуйидаги типик кириш сигналларидан фойдаланилади: 1. Бирлик поғонали сигнал ёки поғонали функция. (1 ) ( ) t A x t   билан ифодаланиб, A=const       0 0 0 1 (1 ) t агар t агар t бирлик поғонали функция 4.2 – расм.        0 0 0 (1 ) ( ) t агар агар t t A x t бу дегани ўзгармас кучланиш улаш деганидир. Мисол сифатида ўзгармас токни улашни келтириш мумкин. x(t) y(t) Звено (система) f(t) x(t) A ∙ 1(t) t 0 h(t) t 0 5 Системага ёки звенонинг поғонали сигналдан олинган реакциясига ўткинчи характеристика деб аталади ва h(t) билан белгиланади. Поғонали сигнал Лаплас тасвири   A p t L A 1 (1 )   ; 6 2. Импулъсли сигнал (функция). ( ) ( ) t A x t   , Aconst .  (t) нинг амплитудаси 0 да  га тенг бўлиб, давомийлиги чексиз кичик бўлган функцияга айтилади.        .0 0 ;0 ( ) t агар агар t  t    0 1 ) ( dt  t 4.3 – расм.  (t) нинг Лаплас тасвири бирга тенг, яъни  ( ) 1  L  t . Система ёки звенонинг бирлик импульсли функциядан олинган реякцияга импульсли ўткинчи характеристика ёки вазн функцияси дейилади ва  t( ) билан белгиланади. 3. Гармоник (синусоидал) сигнал (функция). Бу сигнал ҳақиқий ёки комплекс кўринишда бўлиши мумкин ( )) ( )sin( ( )     k k t A x t   ; ( )) ( )cos( ( )     k k t A x t   .   ) ( ) ( ) sin( ) ( ) cos( ( ) k t j k k k k e A t j t A x t                – комплекс кўриниши. 1 ( )  Ak  - кириш сигналларининг амплитудаси; 0 ( ) k   - кириш сигналининг фазаси;  - частотаси, T    2 ; T – давр,  T  2 .  t( ) 1 t 0 ω(t) t 7 Чизиқли стatsiонар бир ўлчамли системанинг киришига ( )] ( ) ( ( )     k t j k e A x t   сигнал таъсири берилганда унинг чиқишидаги мажбурий тебранишлари кириш сигналининг тебранишлари частотасига тенг частота билан тебраниш ҳосил қилади. Лекин чиқиш тебранишлари амплитудаси Ak () ва фазаси k () кириш тебранишлари амплитудаси ва фазасидан фарқли бўлган гармоник қонун бўйича ўзгаради. 8 4.4 – расм. Система ёки звенонинг гармоник сигналдан олинган реакциясига частотавий характеристика дейилади. 4) A x t ( )  *t – чизиқли сигналлар. 5) A x t ( )  *t2 – квадрат сигналлар. 6) A x t ( )  *t3 – куб сигналлар. АБС ларнинг частотавий характеристикалари Чизиқли стatsiонар системаларни тасвирлашда частотали характеристикалар жуда муҳим роль ўйнайди. Бир ўлчамли чизиқли стatsiонар системанинг умумий кўринишдаги оператор тенгламасини қуйидагича ифодалаш мумкин: ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 x p b b p b p b p y p a a p a p a p m m m m n n n n              . Узатиш функциясининг таърифига кўра ) ( ) ( ... ... ) ( ( ) ) ( 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 p Q p P a a p a p p a b b p b p p b p x y p p W n n n n m m m m                . x(t)=Ak(ω)ej[ωt+φk] t 0 Ak T t 0 Ak y(t)=Ak(ω)ej[ωt+φk] φk(ω) 9 ( ) W j функциянинг узатиш функцияси W( p ) дан p  j билан алмаштириш орқали олинади ва частотавий узатиш функцияси дейилади n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b W j              ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0        . Частотавий узатиш функция ( ) W j чатота деб аталувчи ҳақиқий ўзгарувчи «» га боғлиқ бўлган комплекс функциядир. ( ) ( ) ) (    jV U W j   - алгебраик кўриниши; ( ) ( ) ) (     je A W j  - даражали кўриниши, бу ерда U() - ҳақиқий қисм; V () - мавҳум қисм; A() - амплитуда; () - фаза. ( ) ( ) ) ( 2 2    V U A   ; ) ( ( ) ( )     U  arctg V 10 4.8 – расм. Комплекс текислигида W(j) функциясини OC вектор орқали ифодалаш мумкин. Бу векторнинг узунлиги частотали узатиш функциясининг амплитудаси «А»га векторнинг ҳақиқий мусбат ўқ билан хосил қилган бурчаги фазаси «»га тенг бўлади (1-расм). Частота нолдан чиксиз (0) оралиқда ўзгарганда OC векторнинг комплекс текислигида чизган эгри чизиғига амплитуда-фазали характеристика (АФХ) дейилади, ёки бошқа қилиб айтганда АФХ деб комплекс текислигида частотанинг ўзгаришига қараб амплитуда ва фазанинг ўзгаришига айтиш мумкин. Частотали узатиш функциясининг амплитудаси чиқиш сигналининг амплитудасини кириш сигналининг амплитудасига нисбатан неча маротаба катталигини кўрсатади. Частотали узатиш функциясининг модули амплитудасини беради, яъни ;) ( ( ) ) ( mod ( )     k ч A A W j A   частотали узатиш функциясининг аргументи чиқиш ва кириш сигналлари орасидаги бурчак силжишини кўрсатади, яъни ); ( arg ( )    W j  jV(ω) U(ω) ω=0 ω=∞ φ(ω) А(jω) 0 С 11 4.9 – расм. ) ( ] [ ] [ ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (             j t j к t j ч e A e A e A j x y j j W к ч      ) ( A  - кучайтиришнинг амплитудаси ) ( ( ) ( )    кир чик A A A  ; кир чик      ( )  . ( ) W j - амплитуда фазавий харакетистика (АФХ); U () - ҳақиқий частотавий характеристика (ҲЧХ); V () - мавҳум частотавий характеристика (МЧХ); A() - амплитуда частотавий характеристика (АЧХ); () - фаза частотавий характеристика (ФЧХ). Бу характеристиакаларнинг ҳаммаси оддий чизиқли масштабда чизилади. Юқоридаги характеристикалардан ташқари қуйидаги иккита логарифмик характеристика ҳам мавжуддир. 20lg ( ) ( )   A L  функция - логарифмик амплитуда частотавий характеристика (ЛАЧХ) дейилади. Амплитуданинг lg га нисбатан чизилган T t Ak ) t(x k  0 T t ч A ) t(y ч  12 графигига логарифмик амплитуда частотавий характеристика (ЛАЧХ) дейилади. () ни lg га нисбатан чизилган графигига логарифмик фазо- частотавий характеристика (ЛФЧХ) дейилади. lg нинг ўлчов бирлиги «дакада», бир декада частотанинг ўн марта ошишини билдиради. L() нинг ўлчов бирлиги «децибелл» қувватни ўн марта кўпайтириш бир беллни беради, яъни белл дц 10 1 1  . 20lg ( ) ( ) 10lg 10lg 10lg ( ) ) ( 2     A A U I P L      .