Uzatish funksiyalari. Tipik kirish signallari. Chastotaviy xarakteristikalar. Vaqt xarakteristikalari. Uzatish funksiyalari Bir o‘lchamli uzluksiz statsionar chiziqli sistemaning differensial tenglamasini umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin:                    ( ) ... ( ) ... 1 1 1 0 1 1 1 0 b x t dt x b d dt b d x a y t dt y a d dt d y a m m m m m n n n n n . (4.1) Система ёки звенонинг узатиш функияси деб – бошланғич шартлари нол бўлганида чиқиш сигналининг Лаплас тасвирини кириш сигналининг Лаплас тасвири сигнали нисбатига айтилади. (4.1)-тенгламани Лаплас тасвири бўйича ўзгартирамиз, бунинг учун дифференциал тенгламада dt d операторни «p» комплекс ўзгарувчи билан алмаштирамиз ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( 1 1 0 1 1 0 x p b b p b p y p a a p a p m m m n n n          . (4.2) Узатиш функциясининг таърифига мувофиқ W(p)ни қуйидаги кўринишда ифодалаш мумкин ) ... ( ) ... ( ) ( ( ) ) ( 1 1 0 1 1 0 0 n n n m m m t a a p p a b b p p b p x y p W p            . (4.3) ёки ) ( ( ) ( ) p Q P p W p  бунда m m m m b b p b p b p P p        ... ) ( 2 2 1 1 0 - m даражали кўпҳад; n n n n a a p a p a p Q p        ... ) ( 2 2 1 1 0 - n даражали кўпҳад. Системани амалга ошириш учун n m  шарт бажарилиши керак. Шундагини система ишлаши мумкин. 2 (4.3) тенгламага мувофиқ звено ёки системанинг чиқиш сигналининг Лаплас тасвири ( ) ( ) ( ) x p W p y p   . (4.4) Энди звено ёки системанинг узатиш W(p) функцияси билан ўткинчи функцияси h(t) ҳамда импульсли ўткинчи функцияси (t) орасидаги боғланишни кўриб чиқамиз (4.5-расм). 4.5 – расм а) Агар кириш сигнали x(t)=1(t) бўлса, унда унинг Лаплас тасвири p x t 1 ( )  бўлади. (4) формулага мувофиқ чиқиш сигналининг Лаплас тасвири p W p y p ( ) 1 ( )   га тенг бўлади. Бундан оригинал функцияга ўтсак           p W p L h t y t ( ) 1 ( ) ( ) 1 бўлади. Демак, ўткинчи функция h(t) билан узатиш функцияси W(p) бир маъноли боғланган экан. б) Агар x(t)=(t) бўлса, унда x(p)=1 бўлади. (4.4) формулага мувофиқ чиқиш сигналининг Лаплас тасвири y(p)=W(p) бўлиб, унинг оригинали импульсли ўткинчи функция бўлади, яъни  ) ( ( ) ( ) 1 W p L t y t     . Демак, импульсли ўткинчи функция (t) узатиш функциясининг оригинали экан. Энди узатиш функциясининг моҳиятини аниқ мисолда кўриб чиқамиз. 1-мисол. RC занжири берилган бўлсин (4.6-расм). Шу занжирининг узатиш функцияси W(p)ни топиш керак. R C Zk Zч x(t) y(t) W(p) 3 1 ; ) ( 1 ; ) ( pC p Z pC R p Z ч k    1 1 1 1 1 1 ( )        Tp RCp pC R pC Z Z p W k ч . Бунда T = RC – вақт доимийлиги. 2-мисол. СR занжири берилган бўлсин (4.7-расм). Шу занжирнинг узатиш функцияси W(p)ни топиш керак. ; ) ( ; 1 ) ( R p Z R pC R p Z ч k     Tp Tp RCp RCp R pC R Z Z p W k ч        1 1 1 ( ) . Бу ерда T = RC – вақт доимийлиги. Типик кириш сигналлари Системада бўлаётган жараённи ўрганиш учун уни ифода этувчи дифференциал тенгламанинг ечимини ёки бу тенгламани қандайдир йўл билан топиш керак. Zk Zч 4.7-расм C R 4 Бунинг учун кириш сигнали вақтга боғлиқ бўлиши шарт. АБСларида x(t) ва f(t) сигналларини кириш сигналлари дейилади, y(t) ни чиқиш сигнали ёки кириш сигналидан олинган реакция деб аталади. 4.1 – расм. Системанинг динамик хусусиятларини аниқлаштиришда қуйидаги типик кириш сигналларидан фойдаланилади: 1. Бирлик поғонали сигнал ёки поғонали функция. (1 ) ( ) t A x t   билан ифодаланиб, A=const       0 0 0 1 (1 ) t агар t агар t бирлик поғонали функция 4.2 – расм.        0 0 0 (1 ) ( ) t агар агар t t A x t бу дегани ўзгармас кучланиш улаш деганидир. Мисол сифатида ўзгармас токни улашни келтириш мумкин. x(t) y(t) Звено (система) f(t) x(t) A ∙ 1(t) t 0 h(t) t 0 5 Системага ёки звенонинг поғонали сигналдан олинган реакциясига ўткинчи характеристика деб аталади ва h(t) билан белгиланади. Поғонали сигнал Лаплас тасвири   A p t L A 1 (1 )   ; 6 2. Импулъсли сигнал (функция). ( ) ( ) t A x t   , Aconst .  (t) нинг амплитудаси 0 да  га тенг бўлиб, давомийлиги чексиз кичик бўлган функцияга айтилади.        .0 0 ;0 ( ) t агар агар t  t    0 1 ) ( dt  t 4.3 – расм.  (t) нинг Лаплас тасвири бирга тенг, яъни  ( ) 1  L  t . Система ёки звенонинг бирлик импульсли функциядан олинган реякцияга импульсли ўткинчи характеристика ёки вазн функцияси дейилади ва  t( ) билан белгиланади. 3. Гармоник (синусоидал) сигнал (функция). Бу сигнал ҳақиқий ёки комплекс кўринишда бўлиши мумкин ( )) ( )sin( ( )     k k t A x t   ; ( )) ( )cos( ( )     k k t A x t   .   ) ( ) ( ) sin( ) ( ) cos( ( ) k t j k k k k e A t j t A x t                – комплекс кўриниши. 1 ( )  Ak  - кириш сигналларининг амплитудаси; 0 ( ) k   - кириш сигналининг фазаси;  - частотаси, T    2 ; T – давр,  T  2 .  t( ) 1 t 0 ω(t) t 7 Чизиқли стatsiонар бир ўлчамли системанинг киришига ( )] ( ) ( ( )     k t j k e A x t   сигнал таъсири берилганда унинг чиқишидаги мажбурий тебранишлари кириш сигналининг тебранишлари частотасига тенг частота билан тебраниш ҳосил қилади. Лекин чиқиш тебранишлари амплитудаси Ak () ва фазаси k () кириш тебранишлари амплитудаси ва фазасидан фарқли бўлган гармоник қонун бўйича ўзгаради. 8 4.4 – расм. Система ёки звенонинг гармоник сигналдан олинган реакциясига частотавий характеристика дейилади. 4) A x t ( )  *t – чизиқли сигналлар. 5) A x t ( )  *t2 – квадрат сигналлар. 6) A x t ( )  *t3 – куб сигналлар. АБС ларнинг частотавий характеристикалари Чизиқли стatsiонар системаларни тасвирлашда частотали характеристикалар жуда муҳим роль ўйнайди. Бир ўлчамли чизиқли стatsiонар системанинг умумий кўринишдаги оператор тенгламасини қуйидагича ифодалаш мумкин: ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 x p b b p b p b p y p a a p a p a p m m m m n n n n              . Узатиш функциясининг таърифига кўра ) ( ) ( ... ... ) ( ( ) ) ( 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 p Q p P a a p a p p a b b p b p p b p x y p p W n n n n m m m m                . x(t)=Ak(ω)ej[ωt+φk] t 0 Ak T t 0 Ak y(t)=Ak(ω)ej[ωt+φk] φk(ω)