VEYL FORMULASI
Bu yerda biz ma'lum bir maxsus soha sinfiga tegishli bo'lgan parametrga
golomorf bog'liq bo'lgan yadroli yana bitta formulani keltiramiz.
Ta’rif 1: D ⊂ ℂ𝑛 soha, shuningdek cheklangan miqdordagi
Wi
H D
funksiyalari va
,
1,...,
i
i
D
W D
i
N
tekis sohalar berilgan bo`lsin. Ushbu
П={z ∈ 𝐷: Wi(𝑧) ∈Di , i=1,…, N},
(1)
to’plam poliedrik to’plam deyiladi, agar u D da kompakt bo’lsa.
Bunday to’plamlar qat’iy bog’lanmagan; (1) ko’rinishdagi bog’langan
to’plamlarni biz poliedrik sohalar deb ataymiz. Ko’p hollarda barcha Dv sohalar
aylana bo’lgan holat qaraladi. Mos keluvchi ushbu
П={z ∈ 𝐷: |Wi(𝑧)| <ri , i=1,…,N}
(2)
to’plam analitik poliedrom deyiladi. Agar barcha Wi funksiyalar polinom bo’lsa, u
holda (2) polinomial poliedrom deyiladi.
Xususiy holda, N=n va barcha Wi (z)=zi bo’lsa, poliedrik soha yarim
doirasimon, poliedr bo’lsa - yarim doira bo’ladi.
Ta’rif 2: (1) poliedrik to’plam Veyl to’plami deyiladi, agar N ≥ n va 1) uning
barcha
𝜎i ={z ∈ D:Wi (z) ∈ 𝜕Di , Wi(z) ∈ 𝐷𝑗
̅̅̅, j≠i}
(3)
qirralari (2n-1) o’lchamli to’plam; 2) istalgan turli k (2≤k≤n) qirralarning
kesishmalari – Veyl to’plami qirrasi – 2n-k dan oshmaydigan o’lchamga ega bo’lsa.
Veyl to’plamining n- o’lchamli qirralar majmuasi
𝜎𝑖1…𝑖𝑛 = 𝜎𝑖1⋂ … ⋂𝜎𝑖𝑛
(4)
uning ostovi deyiladi. Veylning bog’langan to’plami Veyl sohasi deyiladi. Veyl
sohasida Golomorf bo’lgan funksiyaning integral ifodasini qo’lga kiritish uchun, bu
sohalarni aniqlovchi Wi funksiyaning maxsus yoyilmalari kerak bo’ladi. Bunday
yoyilmalar imkoniyati kafolatlanadi.
Xefer teoremasi. Agar ℂ𝑛da D golomorf soha bo’lsa, istalgan Wi ⊂ 𝒪(D)
funksiyalar uchun, n ta shunday
,
vPi
z
D
D
O
v 1,...,n
funksiyalar
mavjudki, barcha nuqtalar uchun z ∈ 𝐷 ushbu
1
,
n
i
i
i
v
v
v
v
W
W z
z
P
z
(5)
ayniyat o’rniga ega bo’ladi.
Umumiy holda Xefer teoremasi elementar emas, uning isboti 50-paragrafda
keltirilgan. Bu yerda shuni ta’kidlaymizki, (5) ayniyat ko’phadlari uchun Wi
funksiyalarning z nuqtadagi Teylor yoyilmalarini oddiy qayta guruhlash kelib
chiqadi, chunki 𝑃𝑣
𝑖 Xefer koeeffitsiyentlari ham ko’phad hisoblanadi.
Teorema 1 (A. Veyl). П-(1) Veyl sohasi bo’lsin, silliq chegaralar bilan Di soha
aniqlovchi. U holda istalgan f ∈ 𝒪(Π) ∩ 𝐶(Π̅) funksiyani istalgan z ∈ Π nuqtada
ushbu
1
1
1
...
1
1
'
...
1
1
...
1
( )
( )
.............
, (6)
2
( )
W (z)
...
n
i
i
n
n
n
v
v
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
v
P
P
f
f z
d
i
W
P
P
formula orqali ifodalash mumkin, bunda yig’indi sohaning qirra ostovini aniqlovchi,
barcha tartiblangan indekslar to’plamiga
1
1
...
n
i
i
N
yoyiladi, 𝑃𝑣
𝑖 – Wi
va
1
...
n
d
d
d
uchun Xefer koeffitsiyenti; qirra shunday yo’naltirilganki,
barcha
Di
musbat yo’nalishda o’tadi.
П
–
o’zida
poledoirasimon
sohani
ifodalaganda
,
,
1,...,
i
i
N
n W
z i
N
, Г ostov biror
1,...,n
qirradan iborat bo’ladi. Bu
holda 𝑃𝑣
𝑖 Xefer koeffisienti i=v uchun 1 ga va i ≠ v uchun 0 ga teng bo’ladi. Veyl
formulasidagi aniqlovchi 1 ga teng bo’ladi va formula quyidagi ko’rinishni oladi
1
1
2
n
n
v
v
v
f
d
f z
i
z
(7)
Shunday qilib, Veyl formulasi Veyl sohasidagi holatda poledoirasimon soha
uchun Koshining integral formulasini umumlashtiradi. Koshi formulasi kabi, u ham
yadroga ega, hamda va z o’zgaruvchilar bo’yicha golomorfdir. Veyl
teoremasining n=2 va f ∈ 𝒪
holatdagi isbotini keltiramiz.
Martinelli-Boxner formulasidan kelib chiqib, C2 dan Veyl sohasidagi holatda
quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi
1
1
2
2
2
1
2
4
1
1
2
i
N
i
z d
z
d
f z
f
d
i
z
(8)
bunda
i
– П soha chegarasi. Veyl formulasiga ega bo’lish g’oyasi quyidagicha: (8)
ga Stoks formulasini qo’llashga harakat qilamizki, golomorf bo’lmagan differensial
v
d va 𝜎ij ostov qirrasi bo’yicha integrallashgan chegara 𝜎i yo’qolsin; buning
uchun
yadroning
yo’qolishi
va
golomorfmasligi
kelib
chiqadi.
Shakl
almashtirishdagi bu hiyla (5) Xefer yoyilmasida rol o’ynaydi.
Hammasidan oldin shuni ta’kidlaymizki, (8) integral belgisi ostida turuvchi
, z
ning shakli aniq; u istalgan N shakldan differensial hisoblanadi
1
2
2
1
1
2
2
1
,
i
i
i
i
i
P
P
z
d
z
W
W z
z
z
(9)
Yozuvni soddalashtirish uchun z=0 va
0 :
i
i
i
W
W
W
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
4
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
4
1
2
2
1
1 1
2
2
1
2
2
1
4
4
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
d
d
P
P
P d
P d
d
W
d
d
P
P
P d
P d
d
W
d
d
P
P
d
d
d
d
W
Isbot talab qiladi.
Yana shuni ta’kidlaymizki, z ∈ П va ∈ 𝜎i uchun Wi ( )- Wi (𝑧) farqlanish
noldan farqli bo’ladi
,
i
i
i
i
W
D W z
D
, qolgan barcha farqlanishlar esa
bir nechta nuqtalarda nolga qaytadi. Shu sababli z ∈ П, ∈ 𝜎i uchun faqatgina Ω𝑖
shakl yagona emas, qolgan barcha Ω𝑗, j ≠ i shakllar yagona bo’ladi va 𝜎i chegara
bo’yicha integrallash uchun Stoks formulasini faqat quyidagicha qo’llash mumkin
bo’ladi:
1
,
,
,
i
i
ij
N
i
i
j
j i
f
z
d f
z
f
z
(bu yerda shundan foydalanilganki, f golomorf funksiyani Ω𝑖 shaklidagi differensial
belgisi ostiga kiritish mumkin).
(8) talab qilinganidek barcha integrallarni yig’adigan bo’lsa, u holda har bir 𝜎ij
qirra ikki martadan qarama-qarshi yo’nalishda (𝜎i va 𝜎j chegaralar tomonga)
uchraydi. Shuning uchun quyidagiga ega bo’lamiz
'
1
,
1
,
,
,
i
ij
N
N
i
j
i
i j
f
z
f
z
z
bunda yig’indi barcha tartiblangan indekslar juftliklari (1 ≤ i ≤ j ≤ N) bo’yicha
amalga oshiriladi.
Shuni ko’rish kerak bo’ladiki, (9) yadroning noanalitik qismini ajratish orqali
qisqartiriladi:
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
i
i
i
j
j
i
i
j
j
j
i
j
i
j
P
P
P P
P P
d
d
WW
WW
P
P
Shunday qilib quyidagi formulaga o’tamiz
1
2
'
2
,
1
1
2
1
2
i
i
i
N
j
j
i j
i
i
j
j
P
P
f
f z
d
W
W z
W
W
z
P
P
i
(10)
qaysiki n=2 uchun Veyl formulasi bilan mos keladigan.
Natija. Agar (1) Veyl to’plami bog’lanmagan bo’lsa, u holda u bog’langan
komponentalarning (Veyl sohasining) miqdoriy sonidan ko’p bo’lmagan holda
ajraladi. Ravshanki, teoream1 o’z kuchida qoladi, agar П – Veylning bog’lanmagan
to’plami bo’lsa. Shu sababli z uchun, biror komponentaga yaqinlashuvchi, (6) Veyl
formulasida faqat bu komponentalarning asosi bo’yicha integral noldan farq qiladi,
boshqa komponentalar asosi bo’yicha integrallar nolga qaytadi. Bu shunga
ergashadiki, Veyl integralidan kelib chiqadigan Martinelli-Boxner integrali sohadan
tashqarida nolga teng bo’ladi.
Veyl formulasi yadrosining golomorfligi masalan, bir necha sinflardan
golomorf funksiyalarning yaqinlashishi masalasida foydalaniladi. Bunga tegishli
bo’lgan boshqa faktlarni keltiramiz.
Teorema 2. Istalgan f funksiyani, (2) analitik poliedrda golomorf bo’lgan va
uning uzilishida davomiy bo’lgan, bu poliedrda quyidagi qatorga yoyish mumkin
bo’ladi
'
0
k
i
k
i
k
i
f z
A
W z
(11)
bunda
k=(k1,…,kn)
va
i=(i1,…,in)-vektor
indekslari,
1
1
...
n
n
k
k
k
i
i
i
W z
W
z
W
z
, tartiblangan jamlanma
1
1
...
n
i
i
N
bo’yicha ichki yig’indi hosil qilinadi va koeffisientlar ushbu
1
1
1
1...
1
1
1
1
1
...
1
( )
....
(12)
2
( )
...
( )
...
n
i
i
n
n
n
n
i
i
n
i
k
n
k
k
i
i
i
i
n
P
P
f
A
d
i
W
W
P
P
formula bo’yicha ifodalanadi.
(11) qator П poliedrning istalgan kompakt qismto’plamida tekis yaqinlashadi.
Veyl formulasidan (11) ajralish, xuddi Koshining integral formulasidan
Teylor ajralishi kabi qo’lga kiritiladi. Istalgan z ∈ П nuqtalar va П asosidagi istalgan
nuqtalar uchun geometrik progressiya yaqinlashishidagi ajralishni quyidagicha
yozish mumkin:
1
1
1
1,...,
1
1
1
1
0
0
1
(z)
...
(z)
(z)
1
( )
( )
...
( )
( )
(z)
n
n
n
n
n
v
v
k
k
k
i
i
i
n
k
k
k
k
k
k
i
i
i
i
i
v
W
W
W
W
W
W
W
W
Fiksirlangan z ∈ П da bu ajralish bo’yicha 𝜎𝑖1…𝑖𝑛 ga teng kuchli yaqinlashadi va
buni (6) Veyl formulasiga qo’yish orqali (12) koeffitsiyentlar bilan (11) ajralishga
ega bo’lamiz.
(11) qatorning П poliedrning kompakt qism to’plamlariga teng kuchli
yaqinlashishi oddiy ko’rinishda isbotlanadi.
Natija1. Istalgan f funksiyani, П analitik poliedrda golomorf bo’lgan,
istalgan K⋐ П to’plamda D sohada golomorf bo’lgan, Poliedr aniqlanishida
ishtirok etuvchi funksiyaga tekis yaqinlashtirish mumkin.
Ushbu natijani qisqacha quyidagicha ifodalash mumkin: 𝒪(D) funksiyalar
oilasi 𝒪(D) funksiyalar oilasida zich.
Natija2. Istalgan f funksiyani, П ko’phadli poliedrda golomorf bo’lgan,
istalgan K⋐ П to’plamda ko’phadga tekis yaqinlashtirish mumkin.
Natija2 ni quyidagicha soddalashtirishish mumkin: istalgan ko’phadli poliedr
Runge sohasi hisoblanadi.
