VEYL FORMULASI

Yuklangan vaqt

2024-04-05

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

6

Faytl hajmi

98,9 KB


VEYL FORMULASI 
 
 
Bu yerda biz ma'lum bir maxsus soha sinfiga tegishli bo'lgan parametrga 
golomorf bog'liq bo'lgan yadroli yana bitta formulani keltiramiz. 
Ta’rif 1: D ⊂ ℂ𝑛 soha, shuningdek cheklangan miqdordagi 


Wi
 H D
 
funksiyalari va 

,
1,...,
i
i
D
W D
i
N


 tekis sohalar berilgan bo`lsin. Ushbu  
П={z ∈ 𝐷: Wi(𝑧) ∈Di , i=1,…, N},  
 
 
(1) 
to’plam poliedrik to’plam deyiladi, agar u  D da kompakt bo’lsa. 
Bunday to’plamlar qat’iy bog’lanmagan; (1) ko’rinishdagi bog’langan 
to’plamlarni biz poliedrik sohalar deb ataymiz. Ko’p hollarda barcha Dv sohalar 
aylana bo’lgan holat qaraladi. Mos keluvchi ushbu  
П={z ∈ 𝐷: |Wi(𝑧)| <ri , i=1,…,N}  
 
 
(2) 
to’plam analitik poliedrom deyiladi. Agar barcha Wi funksiyalar polinom bo’lsa, u 
holda (2) polinomial poliedrom deyiladi.  
Xususiy holda, N=n va barcha Wi (z)=zi bo’lsa, poliedrik soha yarim 
doirasimon, poliedr bo’lsa -  yarim doira bo’ladi. 
Ta’rif 2: (1) poliedrik to’plam Veyl to’plami deyiladi, agar N ≥ n va 1) uning 
barcha  
𝜎i ={z ∈ D:Wi (z) ∈ 𝜕Di , Wi(z) ∈ 𝐷𝑗 
̅̅̅, j≠i} 
 
 
(3) 
qirralari (2n-1) o’lchamli to’plam; 2) istalgan turli k (2≤k≤n) qirralarning 
kesishmalari – Veyl to’plami qirrasi – 2n-k dan oshmaydigan o’lchamga ega bo’lsa. 
Veyl to’plamining n- o’lchamli qirralar majmuasi 
𝜎𝑖1…𝑖𝑛 = 𝜎𝑖1⋂ … ⋂𝜎𝑖𝑛 
 
 
 
(4) 
uning ostovi deyiladi. Veylning bog’langan to’plami Veyl sohasi deyiladi. Veyl 
sohasida Golomorf  bo’lgan funksiyaning integral ifodasini qo’lga kiritish uchun, bu 
sohalarni aniqlovchi Wi funksiyaning maxsus yoyilmalari kerak bo’ladi. Bunday 
yoyilmalar imkoniyati kafolatlanadi. 
Xefer teoremasi. Agar ℂ𝑛da D golomorf soha bo’lsa, istalgan Wi ⊂ 𝒪(D) 
funksiyalar uchun, n ta shunday 




,
vPi
z
D
D



O
 
v 1,...,n
 funksiyalar 
mavjudki, barcha   nuqtalar uchun  z ∈ 𝐷 ushbu 
VEYL FORMULASI Bu yerda biz ma'lum bir maxsus soha sinfiga tegishli bo'lgan parametrga golomorf bog'liq bo'lgan yadroli yana bitta formulani keltiramiz. Ta’rif 1: D ⊂ ℂ𝑛 soha, shuningdek cheklangan miqdordagi   Wi  H D funksiyalari va  , 1,..., i i D W D i N   tekis sohalar berilgan bo`lsin. Ushbu П={z ∈ 𝐷: Wi(𝑧) ∈Di , i=1,…, N}, (1) to’plam poliedrik to’plam deyiladi, agar u D da kompakt bo’lsa. Bunday to’plamlar qat’iy bog’lanmagan; (1) ko’rinishdagi bog’langan to’plamlarni biz poliedrik sohalar deb ataymiz. Ko’p hollarda barcha Dv sohalar aylana bo’lgan holat qaraladi. Mos keluvchi ushbu П={z ∈ 𝐷: |Wi(𝑧)| <ri , i=1,…,N} (2) to’plam analitik poliedrom deyiladi. Agar barcha Wi funksiyalar polinom bo’lsa, u holda (2) polinomial poliedrom deyiladi. Xususiy holda, N=n va barcha Wi (z)=zi bo’lsa, poliedrik soha yarim doirasimon, poliedr bo’lsa - yarim doira bo’ladi. Ta’rif 2: (1) poliedrik to’plam Veyl to’plami deyiladi, agar N ≥ n va 1) uning barcha 𝜎i ={z ∈ D:Wi (z) ∈ 𝜕Di , Wi(z) ∈ 𝐷𝑗 ̅̅̅, j≠i} (3) qirralari (2n-1) o’lchamli to’plam; 2) istalgan turli k (2≤k≤n) qirralarning kesishmalari – Veyl to’plami qirrasi – 2n-k dan oshmaydigan o’lchamga ega bo’lsa. Veyl to’plamining n- o’lchamli qirralar majmuasi 𝜎𝑖1…𝑖𝑛 = 𝜎𝑖1⋂ … ⋂𝜎𝑖𝑛 (4) uning ostovi deyiladi. Veylning bog’langan to’plami Veyl sohasi deyiladi. Veyl sohasida Golomorf bo’lgan funksiyaning integral ifodasini qo’lga kiritish uchun, bu sohalarni aniqlovchi Wi funksiyaning maxsus yoyilmalari kerak bo’ladi. Bunday yoyilmalar imkoniyati kafolatlanadi. Xefer teoremasi. Agar ℂ𝑛da D golomorf soha bo’lsa, istalgan Wi ⊂ 𝒪(D) funksiyalar uchun, n ta shunday     , vPi z D D    O  v 1,...,n funksiyalar mavjudki, barcha  nuqtalar uchun z ∈ 𝐷 ushbu
 
 




1
,
n
i
i
i
v
v
v
v
W
W z
z
P
z








                        
(5) 
ayniyat o’rniga ega bo’ladi. 
 
        1 , n i i i v v v v W W z z P z         (5) ayniyat o’rniga ega bo’ladi.
Umumiy holda Xefer teoremasi elementar emas, uning isboti 50-paragrafda 
keltirilgan. Bu yerda shuni ta’kidlaymizki, (5) ayniyat ko’phadlari uchun Wi 
funksiyalarning z nuqtadagi Teylor yoyilmalarini oddiy qayta guruhlash kelib 
chiqadi, chunki 𝑃𝑣
𝑖 Xefer koeeffitsiyentlari ham ko’phad hisoblanadi.  
Teorema 1 (A. Veyl). П-(1) Veyl sohasi bo’lsin, silliq chegaralar bilan Di soha 
aniqlovchi. U holda istalgan f ∈  𝒪(Π) ∩ 𝐶(Π̅)  funksiyani istalgan z ∈  Π nuqtada 
ushbu  




1
1
1
...
1
1
'
...
1
1
...
1
( )
( )
.............
, (6)
2
( )
W (z)
...
n
i
i
n
n
n
v
v
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
v
P
P
f
f z
d
i
W
P
P








  
 
 
formula orqali ifodalash mumkin, bunda yig’indi sohaning qirra ostovini aniqlovchi,  
barcha tartiblangan indekslar to’plamiga 

1
1
...
n
i
i
N




  yoyiladi, 𝑃𝑣
𝑖 – Wi  
va 
1
...
n
d
d
d






 uchun Xefer koeffitsiyenti; qirra shunday yo’naltirilganki, 
barcha 
Di
  musbat yo’nalishda o’tadi.  
П 
– 
o’zida 
poledoirasimon 
sohani 
ifodalaganda 


,
,
1,...,
i
i
N
n W
z i
N



, Г ostov biror 
1,...,n
 qirradan iborat bo’ladi. Bu 
holda  𝑃𝑣
𝑖 Xefer koeffisienti i=v  uchun 1 ga va i ≠ v uchun 0 ga teng bo’ladi. Veyl 
formulasidagi aniqlovchi 1 ga teng bo’ladi va formula quyidagi ko’rinishni oladi  
 


 


1
1
2
n
n
v
v
v
f
d
f z
i
z










 
 
 
 
(7)  
Shunday qilib, Veyl formulasi Veyl sohasidagi holatda poledoirasimon soha 
uchun Koshining integral formulasini umumlashtiradi. Koshi formulasi kabi, u ham 
yadroga ega, hamda   va z o’zgaruvchilar bo’yicha golomorfdir. Veyl 
teoremasining n=2 va f ∈ 𝒪 
  holatdagi isbotini keltiramiz. 
 Martinelli-Boxner formulasidan kelib chiqib, C2 dan Veyl sohasidagi holatda 
quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi 
 


 



1
1
2
2
2
1
2
4
1
1
2
i
N
i
z d
z
d
f z
f
d
i
z

















 
 
(8) 
Umumiy holda Xefer teoremasi elementar emas, uning isboti 50-paragrafda keltirilgan. Bu yerda shuni ta’kidlaymizki, (5) ayniyat ko’phadlari uchun Wi funksiyalarning z nuqtadagi Teylor yoyilmalarini oddiy qayta guruhlash kelib chiqadi, chunki 𝑃𝑣 𝑖 Xefer koeeffitsiyentlari ham ko’phad hisoblanadi. Teorema 1 (A. Veyl). П-(1) Veyl sohasi bo’lsin, silliq chegaralar bilan Di soha aniqlovchi. U holda istalgan f ∈ 𝒪(Π) ∩ 𝐶(Π̅) funksiyani istalgan z ∈ Π nuqtada ushbu     1 1 1 ... 1 1 ' ... 1 1 ... 1 ( ) ( ) ............. , (6) 2 ( ) W (z) ... n i i n n n v v i i n n n i i i i i i n v P P f f z d i W P P            formula orqali ifodalash mumkin, bunda yig’indi sohaning qirra ostovini aniqlovchi, barcha tartiblangan indekslar to’plamiga   1 1 ... n i i N     yoyiladi, 𝑃𝑣 𝑖 – Wi va 1 ... n d d d       uchun Xefer koeffitsiyenti; qirra shunday yo’naltirilganki, barcha Di musbat yo’nalishda o’tadi. П – o’zida poledoirasimon sohani ifodalaganda   , , 1,..., i i N n W z i N    , Г ostov biror 1,...,n qirradan iborat bo’ladi. Bu holda 𝑃𝑣 𝑖 Xefer koeffisienti i=v uchun 1 ga va i ≠ v uchun 0 ga teng bo’ladi. Veyl formulasidagi aniqlovchi 1 ga teng bo’ladi va formula quyidagi ko’rinishni oladi         1 1 2 n n v v v f d f z i z           (7) Shunday qilib, Veyl formulasi Veyl sohasidagi holatda poledoirasimon soha uchun Koshining integral formulasini umumlashtiradi. Koshi formulasi kabi, u ham yadroga ega, hamda  va z o’zgaruvchilar bo’yicha golomorfdir. Veyl teoremasining n=2 va f ∈ 𝒪   holatdagi isbotini keltiramiz.  Martinelli-Boxner formulasidan kelib chiqib, C2 dan Veyl sohasidagi holatda quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi          1 1 2 2 2 1 2 4 1 1 2 i N i z d z d f z f d i z                  (8)
bunda 
i
 – П soha chegarasi. Veyl formulasiga ega bo’lish g’oyasi quyidagicha: (8) 
ga Stoks formulasini qo’llashga harakat qilamizki, golomorf bo’lmagan differensial 
v
d   va 𝜎ij ostov qirrasi bo’yicha integrallashgan chegara 𝜎i yo’qolsin; buning 
uchun 
yadroning 
yo’qolishi 
va 
golomorfmasligi 
kelib 
chiqadi. 
Shakl 
almashtirishdagi bu hiyla (5) Xefer yoyilmasida rol o’ynaydi.  
Hammasidan oldin shuni ta’kidlaymizki, (8) integral belgisi ostida turuvchi 

  , z
 ning shakli aniq; u istalgan N shakldan differensial hisoblanadi 
 


 
 


1
2
2
1
1
2
2
1
,
i
i
i
i
i
P
P
z
d
z
W
W z
z
z












     
     (9) 
Yozuvni soddalashtirish uchun z=0 va 
 
 
0 :
i
i
i
W
W
W



 






 









1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
4
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
4
1
2
2
1
1 1
2
2
1
2
2
1
4
4
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
d
d
P
P
P d
P d
d
W
d
d
P
P
P d
P d
d
W
d
d
P
P
d
d
d
d
W

















 
 























 




























  
Isbot talab qiladi. 
Yana shuni ta’kidlaymizki, z ∈ П va  ∈  𝜎i uchun Wi ( )- Wi (𝑧) farqlanish 
noldan farqli bo’ladi 
 
 


,
i
i
i
i
W
D W z
D
 

, qolgan barcha farqlanishlar esa 
bir nechta nuqtalarda nolga qaytadi. Shu sababli z ∈ П,  ∈  𝜎i uchun faqatgina Ω𝑖 
shakl yagona emas, qolgan barcha Ω𝑗, j ≠ i shakllar yagona bo’ladi va 𝜎i chegara 
bo’yicha integrallash uchun Stoks formulasini faqat quyidagicha qo’llash mumkin 
bo’ladi: 
  

 




 


1
,
,
,
i
i
ij
N
i
i
j
j i
f
z
d f
z
f
z



  














 
(bu yerda shundan foydalanilganki, f golomorf funksiyani Ω𝑖 shaklidagi differensial 
belgisi ostiga kiritish mumkin). 
bunda i  – П soha chegarasi. Veyl formulasiga ega bo’lish g’oyasi quyidagicha: (8) ga Stoks formulasini qo’llashga harakat qilamizki, golomorf bo’lmagan differensial v d va 𝜎ij ostov qirrasi bo’yicha integrallashgan chegara 𝜎i yo’qolsin; buning uchun yadroning yo’qolishi va golomorfmasligi kelib chiqadi. Shakl almashtirishdagi bu hiyla (5) Xefer yoyilmasida rol o’ynaydi. Hammasidan oldin shuni ta’kidlaymizki, (8) integral belgisi ostida turuvchi    , z ning shakli aniq; u istalgan N shakldan differensial hisoblanadi         1 2 2 1 1 2 2 1 , i i i i i P P z d z W W z z z             (9) Yozuvni soddalashtirish uchun z=0 va     0 : i i i W W W                     1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 4 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 4 4 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i d d d P P P d P d d W d d P P P d P d d W d d P P d d d d W                                                                           Isbot talab qiladi. Yana shuni ta’kidlaymizki, z ∈ П va  ∈ 𝜎i uchun Wi ( )- Wi (𝑧) farqlanish noldan farqli bo’ladi       , i i i i W D W z D    , qolgan barcha farqlanishlar esa bir nechta nuqtalarda nolga qaytadi. Shu sababli z ∈ П,  ∈ 𝜎i uchun faqatgina Ω𝑖 shakl yagona emas, qolgan barcha Ω𝑗, j ≠ i shakllar yagona bo’ladi va 𝜎i chegara bo’yicha integrallash uchun Stoks formulasini faqat quyidagicha qo’llash mumkin bo’ladi:               1 , , , i i ij N i i j j i f z d f z f z                     (bu yerda shundan foydalanilganki, f golomorf funksiyani Ω𝑖 shaklidagi differensial belgisi ostiga kiritish mumkin).