Xaritanining matematik asoslari Reja 1. Xaritani matematik asosi haqida tushuncha 2. Kartografik proyeksiyalardagi xatoliklar 3. Kartografik proyeksiyalar haqida tushuncha, ularning turlari Tayanch so’zlar: proyeksiyalar,masshtab, geodezik asos, komponovka, globus, meridian, parallel, qutb, ekvator, yer markazi, bosh meridian, sana o’zgarish chizig’i, proyeksiya, teng maydonli, teng xajmli, uzunlik xatosi, burchak xatosi, maydon xatosi, shakl xatosi, bosh masshtab, xususiy masshtab. azimuthal, silindrik, konusli, kondalang silindrik, qiyshiq silindirik, tog’ri silindrik Kartani matematik asosi haqida tushuncha Kartani matematik asosi —kartani matematik elementlari majmuidan tarkib topib, ular tasvirlanayotgan yuza va karta o’rtasidagi matematik aloqani belgilaydilar. Proyeksiya, masshtab, geodezik asos, shuningdek komponovka tizimi kartaning matematik asos elementlari bo’lib hisoblanadi Kartaning matematik asos elementlari —Er yuzasini tekislikda ma’lum matematik qonun va qoida asosida to’g’ri va aniq tasvirlash imkonini beradi. Masshtab kartografik modelning fazoviy chegaralarini aniqlaydi. Kartada o’lchash mumkin bo’lgan aniqlik, karta mazmunining mukammalliligi, karto-grafik tasvirning aniqligi bevosita uning masshtabiga bog’liq bo’ladi. Karta masshtabining yirik yoki maydaligi uning maqsadiga qarab belgilanadi. Ellipsoid yoki shar yuzasini tekislikda matematik to’g’ri aks ettirishga kartografik proyeksiya deyiladi. Kartalarni o’qish va uni plandan farqini ajrata bilish uchun va ellipsoid (shar) sirtni tekis yuzaga (kartaga) tushurishda hosil bo’ladigan o’zgarishlarni tasavvur qilish uchun kartografik proyeksiyalar to’g’risida ma’lumotga ega bo’lish kerak. Erning qabariq yuzasini tekis yuzada, ya’ni kartada matematik yo’l bilan tasvirlash usuli Kartografik proyeksiya deyladi. Kartografiyada Er yuzasini ellipsoid yuza deb qabul qilinib, uni konus va silindrga solib, so’ng yoyib tasvirlanadi. Natijada ochiq joylar (deformasiya natijasida) hosil bo’lib, bu ochiq joylarni to’ldirib tasvirlash uchun ular «cho’ziladi» natijada tasvirlangan yuzalarning masshtabi hamma joyda bir xil bo’lmaydi. Kartografik proyeksiyalardagi xatoliklar Kartografik proyeksiyalar nazariyasi bo’yicha ellipsoid yuzasidagi juda kichik aylana (doira) tekislikka tasvirlanganda ellipsga aylanadi va uni ellips xatoligideb yuritiladi. Xatolik natijasida er yuzasidagi shakllar geometrik jihatdan o’zgaradi. Bu o’zgarishlar chiziqlar uzunligida, yo’nalishlarning gorizontal burchaklarida, geografik ob’ektlarning shaklida va maydonida vujudga keladi. Demak kartalardagi xatoliklar to’rt xildir (shuni ham unutmaslik kerakki, bu xatoliklarni bilib turib yo’l qo’yiladi, chunki bu jarayon bo’lishi muqarrardir), bu xatoliklar quyidagilardir (16-rasm): 1. Masofa yoki uzunlik xatoligi. 2. Burchak xatoligi. 3. SHakl xatoligi. 4. Maydon xatoligi. Uzunlik yoki masofa xatoligi asosan masshtabga bog’liq bo’lib,16 rasmda 2 parallel orasidagi meridian uzunligi 2 xil tasvirlangan. Masalan, AV chizig’i (700 meridianda) SD (1400 meridianda) bir-biriga teng emasligi ko’rinib turibdi. Ekvatorda uzunlik masshtabi bir xil bo’lib u bosh masshtab deb yuritiladi. Mayda masshtabli kartalarda uzunlik masshtabi ekvator bilan boshlang’ich meridianda o’zgarmay saqlanib qoladi, ya’ni xatolik bo’lmaydi. Geografik kartalarda xatosiz tasvirlangan joylardagi uzunlik masshtabi o’zgarmaydi. Xatolik bilan tasvirlangan maydonlarda, masshtablar o’zgaruvchan bo’ladi, u xususiy masshtab deyiladi. Geografik kartalarda, odatda bosh masshtab ko’rsatilib u kartalarning janubiy ramkasini tagiga yoki shimoliy ramkaning tepasiga yozib qo’yiladi. Uzunlik xatoligi. Agar dunyo kartasi bilan yarimsharlar kartasidagi ekvatorni va 600 li parallellarni taqqoslasak, ulardagi meridianlar oralig’idagi farq ko’zga tashlanadi. CHunki 600 li parallel uzunligi ekvator uzunligidan 2 marta qicqadir. Burchak xatoligini kartalarda aniqlash uchun yo’nalishlar oraliqlarining gorizontal burchaklarini ellipsoid yuzada va er yuzasida o’lchash kerak. Bu xatolik 16-rasmda (5) ko’rsatilgan. Kartadagi burchak xatolikni ko’z bilan ham ko’rish mumkin. Masalan, meridian va parallellar o’zaro kesishib to’g’ri 900 li burchak hosil qilmasa, burchak xatoligi bor demakdir. SHakl xatoligini kartadagi bir kenglikda yotgan kartografik to’rlarni bir- birlari bilan taqqoslash orqali aniqlash mumkin. 16-rasmda 00-100 oralig’idagi shtrixlangan shakllarda ko’rsatilgan. Undan tashqari 16-rasmda Kamchatka yarim oroli globusdagidan ancha katta qilib tasvirlangan. Maydon xatoligi maydon masshtabi bilan bog’liq. SHu bilan birga shaklga ham bog’liqdir. 16-rasmdagi shakllar bilan bir qatorda maydon ham o’zgarganligi ko’rinib turibdi. Kartalardagi xatoliklarni o’lchash yo’li bilan hisoblasa bo’ladi. Masofa yoki uzunlik xatoligini () aniqlash uchun μ=xusussiy masshtab bosh masshtab formulasidan foydalaniladi. Bosh masshtab aniq, u kartada yozib qo’yiladi. Xususiy masshtabni aniqlash uchun quyidagi m= l L , formuladan foydalanamiz, m -xususiy masshtab, l -kartadagi meridian yoki parallel yoyning uzunligi (sm hisobida), L -er yuzasidagi shu meridian yoki parallel yoyning haqiqiy uzunligi ( L ning qiymati kitobning 1- ilovasida berilgan). Masalan, Rossiyaning 1:20 millionli kartasida Qarag’anda va Norilьsk shaharlari atroflarining xususiy masshtablarini aniqlash kerak bo’lsin. Qarag’anda shahri 500 parallelda joylashgan. Kartada bu kenglikdagi 100 parallel yoyning uzunligi 3,6 sm, Er yuzasidagi 100 yoy uzunligi 71 697 000 sm (1- ilovadan olingan). Bu qiymatlar formulaga qo’yilsa: m= l L=3,6 см 71697000 см = 1 199158000 см . Norilsk shahri 700 parallel yaqinida joylashgan bo’lib, bu erda 100 yoy uzunligi kartada 2 sm Er yuzasidagi 10 yoy uzunligi 38 187 000 sm (1-ilovadan olingan). Bu qiymatlar formulaga qo’yilsa: m= l L= 2 см 38187000 см = 1 19093500 см bo’ladi. Uzunlik xatoligi  (mьyu) hamma joyda bir xil bo’lmasdan meridian bo’yicha bo’lsa (m) bilan, parallel bo’yicha (n). Muayyan aniqlanishi kerak bo’lgan nuqtadagi eng katta uzunlik xatolik ko’rsatkichi lotin alfaviti ( а ) bilan, eng kam xatolikni ( в ) bilan belgilanadi. Eng katta xatolik va eng kichkina uzunlik xatoliklarni Bosh yo’nalishlar deb yuritiladi. Kartografik to’r bilan yo’nalishlar orasidagi burchak xatoligi 900 ga farq qilib, grekcha ( ξ ) epsilon bilan belgilanadi. ξ =00-900, Θ (teta) ya’ni meridian bilan parallel orasidagi o’lchangan burchak 16-rasmda Θ =1150bo’lsa ξ =1150- 900=250. Umumiy burchak xatolik ko’rsatkichi ω (amego) bilan belgilanib, kartadagi burchak xatoligi bilan Er yuzasidagi burchak xatoligi orasidagi farq quyidagi formula bilan aniqlanadi: Sm ω 2 = а+в а−в . Maydon xatoligi (R) bilan belgilanib, R= а  в formula bilan aniqlanadi. SHakl xatoligi (k) nuqtadagi eng katta (a) va eng kichik (v) uzunlik xatoliklariga bog’liq bo’lib, к=а в formula bilan aniqlanadi. Uzunlik xatoligisiz proyeksiyalar bo’lmaydi. Lekin burchak va maydon xatoligisiz proyeksiyalar bo’ladi. Xulosa qilib aytganda, xatoliklarning vujudga kelishini, globusni meridianlar bo’yicha tilimlarga bo’lib, ekvator chizig’i bo’yicha yoyganda tilimlar orasida ochiq joylar hosil bo’lishini ko’rish mumkin. Bu xatolik u shimol va janubga tomon kattalashib boradi.Bu ochiq joylarni «to’ldirish» natijasida xatolik paydo bo’lishini, globusni parallellar bo’yicha ham tilimlarga bo’lib, tasvirlaganda ham ochiq joylar hosil bo’lishini ko’rish mumkin. Ularni ham «to’ldirish» natijasida xatolik vujudga keladi. Nihoyat Er sharining usti tekis bo’lmasdan (globusda tasvirlaganimizdek silliq emas), har xil relyef shakllardan: tog’lar, tekisliklar, chuqur botiqlardan iborat bo’lib, ularni tekislikka yoyib tasvirlaganda ham xatolikka yo’l qo’yiladi. Kartografik proyeksiyalar haqida tushuncha, ularning turlari. Kartografik proyeksiyalar bir-birlariga bog’liq bo’lmagan xatoliklar va kartografik to’rlarga qarab farq qiladi. Kartografik proyeksiyalar xatoliklariga ko’ra teng burchakli, teng maydonli va ixtiyoriy proyeksiyalarga bo’linadi. Ixtiyoriy proyeksiyalarda teng oraliqlik proyeksiyalar ko’proq qo’llaniladi. Teng burchakli proyeksiyalarda burchak xatoligi bo’lmaydi. Bunday proyeksiyada tuzilgan geografik kartalarning hamma joyidagi barcha yo’nalishlarida burchaklar qiymati saqlanib qoladi. Kartada maydon va masofa o’zgaradi. 17-rasmda tasvirlangan teng burchakli stereografik azimutal proyeksiyada ekvatorda tasvirlangan xatosiz aylana ekvatordan uzoqlashgan sari kattalashib, maydoni oshib boradi, lekin shakli o’zgarmaydi. Teng burchakli proyeksiyalarda burchak aniqligi talab qilinadigan dengiz va aeronavigasiya kartalari tuziladi. Teng maydonli proyeksiyalarda kartadagi maydon bilan er yuzasidagi maydon o’rtasidagi proporsionallik saqlanadi. Kartaning markazida tasvirlangan aylana ramka chekkalariga borib ellipsga aylansa ham maydoni o’zgarmaydi (18- 19-rasmlar). Xatoliklarni iloji boricha kamaytirish maqsadida ixtiyoriy proyeksiyalardan foydalaniladi. Teng burchakli proyeksiyada burchak xatosi kamayadi, maydon xatosi ortadi yoki aksincha bo’ladi, ya’ni karta teng maydonli proyeksiyada tuzilsa maydon xatoligi kamayib burchak xatoligi ortadi (20-rasm). YA’ni teng maydonli proyeksiyada tuzilsa maydon xatoligi kamayib burchak xatoligi ko’payadi. Har ikkala xatolik bir xil miqdorda bo’lishi uchun teng oraliqli proyeksiyalardan foy- dalaniladi. Teng oraliqli proyeksiyalarda meridianlar va parallellar bo’yicha masshtabning doimiyligi saqlanadi, shakl, burchak va maydon xatoliklari ro’y beradi. 20-rasmda ekvatorda olingan aylanadan uzoqlashgan sari shakli va maydoni o’zgarganligi ko’rsatilgan. Teng oraliqli proyeksiyalar ixtiyoriy proyeksiyalar ichida eng ko’p qo’llaniladi. Kartalarda xatolik bo’lmaydigan, nuqtalarni xatoligi yo’q nuqtalar, agar chiziq bo’lsa, xatoligi yo’q chiziqlar deb ataladi Kartografiyada ellipsoid yuzasini tekis yuzada tasvirlash uchun geometrik shakllar (tekislik, silindr, konus) dan foydalaniladi. Foydalanilgan geometrik shakllar proyeksiya nomi bilan ataladi. Masalan: azimutal (tekislik) silindrik, konusli, ko’p konusli, psevdosilindrik, psevdokonusli va shartli proyeksiyalar. Azimutal proyeksiya tuzish uchun geometrik shakl- tekislikdan foydalaniladi. Er sharini tekislikka yoyib biror nuqtasiga tekislikning urinma bo’lishi natijasida azimutal proyeksiyalar hosil bo’ladi. Agar tekislik Er sharining qutblariga urinma bo’lsa, qutbiy azimutal, ekvator chizig’iga urinma bo’lsa, ekvatorial azimutal, Er yuzining boshqa biror nuqtasiga urinma bo’lsa, gorizontal yoki qiyshiq azimutal proyeksiyalar hosil bo’ladi. Qutbiy azimutal proyeksiyalarda shimoliy va janubiy yarim sharlar, Arktika va Antarktida hamda osmon sferasining shimoliy va janubiy yarim sharlar kartalari tuziladi. Bu proyeksiyalarda meridianlar markazi qutbda bo’lgan to’g’ri chiziqlardan, parallellar esa markazdan uzoqlashgan sari radiusi oshib boradigan konsentrik aylanalardan iborat bo’ladi. Xatosiz nuqta qutblar hisoblanadi Figure 6.7 Map projections: (a) projection planes; (b) projection aspects1 Ekvatorial azimutal proyeksiyada yarim sharlar (sharqiy va g’arbiy yarim sharlar) kartasi tuziladi, ularning o’rtasidan o’tgan meridian va ekvator to’g’ri chiziqdan, parallellar konsentrik aylanalarning yoylaridan, qolgan meridianlar esa radiusi har xil kattalikka ega bo’lgan aylananing yoylaridan iborat bo’ladi. Xatosiz 1Menno-Jan Kraak, Ferjan Ormeling. Cartography: visualization of geospatial data. Edinburgh. Pearson education limited. 2010. 91-p